Trả lời nhanh
Với hàm số y = (1/3)x³ − mx² + (m² − 4)x + 3, điều kiện cần là y'(3) = 0 ⇒ m² − 6m + 5 = 0 ⇒ m = 1 hoặc m = 5. Điều kiện đủ để x = 3 là cực đại là y”(3) < 0 ⇒ 6 − 2m < 0 ⇒ m > 3. Vậy chỉ m = 5 thoả mãn, còn m = 1 làm x = 3 là điểm cực tiểu.
Đề bài được hiểu là: tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = (1/3)x³ − mx² + (m² − 4)x + 3 đạt cực đại tại điểm x = 3. Đây là dạng cực trị chứa tham số quen thuộc trong chương ứng dụng đạo hàm của Toán 12.
Cách giải: điều kiện cần rồi điều kiện đủ
Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x, nên nếu đạt cực trị tại x0 thì y'(x0) = 0. Điều này chỉ là điều kiện cần, nên phải kiểm tra thêm điều kiện đủ.
- Điều kiện cần: y'(x0) = 0.
- Điều kiện đủ (dùng đạo hàm cấp hai): y'(x0) = 0 và y”(x0) < 0 thì x0 là cực đại; y”(x0) > 0 thì là cực tiểu.
- Nếu y”(x0) = 0 thì không kết luận được, phải xét dấu y’ hai bên x0.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Tính đạo hàm.
y’ = x² − 2mx + m² − 4, y” = 2x − 2m.
Bước 2. Điều kiện cần y'(3) = 0.
9 − 6m + m² − 4 = 0 ⇔ m² − 6m + 5 = 0 ⇔ (m − 1)(m − 5) = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 5.
Bước 3. Điều kiện đủ y”(3) < 0.
y”(3) = 6 − 2m.
- m = 1: y”(3) = 4 > 0 ⇒ x = 3 là điểm cực tiểu ⇒ loại.
- m = 5: y”(3) = −4 < 0 ⇒ x = 3 là điểm cực đại ⇒ nhận.
Kết luận: m = 5.
Kiểm tra lại bằng bảng dấu y’
Cách này không cần y” và giúp tránh nhầm lẫn.
| Giá trị m | y’ | Các nghiệm của y’ | Kết luận tại x = 3 |
|---|---|---|---|
| m = 1 | x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) | −1 và 3 | x = 3 là nghiệm lớn hơn ⇒ cực tiểu |
| m = 5 | x² − 10x + 21 = (x − 3)(x − 7) | 3 và 7 | x = 3 là nghiệm nhỏ hơn ⇒ cực đại |
Mẹo nhớ: y’ là tam thức bậc hai có hệ số a = 1 > 0 nên y’ dương ở ngoài hai nghiệm và âm ở giữa. Do đó y’ đổi dấu từ + sang − tại nghiệm nhỏ (cực đại) và từ − sang + tại nghiệm lớn (cực tiểu). Với m = 5, hàm số đạt cực đại y(3) = 9 − 45 + 63 + 3 = 30. Tính lại: (1/3)·27 = 9; −5·9 = −45; (25 − 4)·3 = 63; cộng 3 ⇒ 9 − 45 + 63 + 3 = 30.
Lỗi sai thường gặp
- Dừng ở y'(3) = 0. Làm vậy sẽ kết luận m ∈ {1; 5}, sai vì m = 1 cho cực tiểu.
- Nhầm chiều dấu y”. Cực đại ứng với y” âm (đồ thị “úp”), cực tiểu ứng với y” dương.
- Tính sai y'(3). Cần chú ý (m² − 4)·x đạo hàm ra m² − 4, không phải 2m.
Bài luyện tập
Bài 1. Tìm m để hàm số y = (1/3)x³ − mx² + (m² − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 1.
Đáp án: y’ = x² − 2mx + m² − 1. y'(1) = m² − 2m = 0 ⇒ m = 0 hoặc m = 2. y”(1) = 2 − 2m > 0 ⇒ m < 1 ⇒ m = 0. Kiểm tra: m = 0 thì y' = x² − 1, x = 1 là nghiệm lớn hơn nên là cực tiểu.
Bài 2 (có bẫy). Tìm m để hàm số y = x³ − 3x² + mx đạt cực trị tại x = 1.
Đáp án: y’ = 3x² − 6x + m, y'(1) = m − 3 = 0 ⇒ m = 3. Khi đó y’ = 3(x − 1)² ≥ 0 không đổi dấu, y”(1) = 0, nên x = 1 không là điểm cực trị. Không có m thoả mãn.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao m = 1 bị loại dù thoả y'(3) = 0?
Vì y'(3) = 0 chỉ là điều kiện cần. Với m = 1, y' = (x − 3)(x + 1) đổi dấu từ âm sang dương tại x = 3 nên x = 3 là điểm cực tiểu, không phải cực đại.
Có thể giải không cần đạo hàm cấp hai không?
Được. Lập bảng xét dấu y' hai bên x = 3 với từng giá trị m tìm được. Cực đại khi y' đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 3.
Khi y''(x0) = 0 thì kết luận thế nào?
Không kết luận được bằng y''. Phải xét dấu y' ở hai phía x0: đổi dấu thì là cực trị, không đổi dấu thì không phải cực trị.
Giá trị cực đại của hàm số khi m = 5 là bao nhiêu?
Thay x = 3, m = 5 vào hàm số được y(3) = 9 − 45 + 63 + 3 = 30.