Trả lời nhanh
Với h = 3cos(πt/6 + π/3) + 12 và 0 ≤ t < 24: độ sâu 15 m tại t = 10 và t = 22; độ sâu 9 m tại t = 4 và t = 16; độ sâu 10,5 m tại t = 2, 6, 14, 18 (giờ). Cách làm: đưa về phương trình cos(πt/6 + π/3) = giá trị cần tìm, giải rồi chọn nghiệm trong đoạn [0; 24).
Đề bài
Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 ≤ t < 24) cho bởi công thức:
h = 3cos(πt/6 + π/3) + 12
Tìm t để độ sâu của mực nước là: a) 15 m; b) 9 m; c) 10,5 m.
Lưu ý: nếu đề của bạn chỉ hỏi một ý (ví dụ “lúc nào nước cao nhất”) thì xem đúng ý tương ứng bên dưới.
Nhận xét trước khi giải
Vì −1 ≤ cos(…) ≤ 1 nên 9 ≤ h ≤ 15. Vậy độ sâu thấp nhất là 9 m, cao nhất là 15 m, mực trung bình là 12 m. Chu kì của hàm là 2π : (π/6) = 12 giờ, tức là mỗi ngày có hai lần nước lên cao nhất và hai lần xuống thấp nhất. Đây là điều giúp ta kiểm tra: mỗi ý thường cho 2 hoặc 4 nghiệm trong một ngày.
Lời giải chi tiết
a) Độ sâu 15 m
h = 15 ⇔ 3cos(πt/6 + π/3) + 12 = 15 ⇔ cos(πt/6 + π/3) = 1.
⇔ πt/6 + π/3 = k2π ⇔ t/6 + 1/3 = 2k ⇔ t = 12k − 2 (k ∈ ℤ).
Điều kiện 0 ≤ t < 24: 0 ≤ 12k − 2 < 24 ⇔ 1/6 ≤ k < 13/6, nên k = 1 hoặc k = 2.
Vậy t = 10 và t = 22 (lúc 10 giờ và 22 giờ, nước lên cao nhất).
b) Độ sâu 9 m
h = 9 ⇔ cos(πt/6 + π/3) = −1.
⇔ πt/6 + π/3 = π + k2π ⇔ t/6 = 2/3 + 2k ⇔ t = 4 + 12k.
0 ≤ 4 + 12k < 24 ⇔ −1/3 ≤ k < 5/3, nên k = 0 hoặc k = 1.
Vậy t = 4 và t = 16 (nước xuống thấp nhất).
c) Độ sâu 10,5 m
h = 10,5 ⇔ 3cos(…) = −1,5 ⇔ cos(πt/6 + π/3) = −1/2 = cos(2π/3).
Suy ra hai họ nghiệm:
- Họ 1: πt/6 + π/3 = 2π/3 + k2π ⇔ t = 2 + 12k. Với 0 ≤ t < 24 ta được k = 0, 1: t = 2; t = 14.
- Họ 2: πt/6 + π/3 = −2π/3 + k2π ⇔ t/6 = −1 + 2k ⇔ t = −6 + 12k. Với 0 ≤ t < 24 ta được k = 1, 2: t = 6; t = 18.
Vậy t ∈ {2; 6; 14; 18}.
Kiểm tra lại bằng cách thay số
| t (giờ) | πt/6 + π/3 | cos | h (m) |
|---|---|---|---|
| 2 | 2π/3 | −1/2 | 10,5 |
| 4 | π | −1 | 9 |
| 6 | 4π/3 | −1/2 | 10,5 |
| 10 | 2π | 1 | 15 |
Các giá trị còn lại (14, 16, 18, 22) cách các giá trị trên đúng một chu kì 12 giờ nên cho kết quả giống nhau.
Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện 0 ≤ t < 24: giữ lại cả nghiệm âm hoặc lớn hơn 24. Hãy luôn giải bất phương trình theo k rồi mới chọn k nguyên.
- Chỉ lấy một họ nghiệm ở ý c): cos x = cos α cho hai họ x = ±α + k2π, thiếu một họ là mất một nửa nghiệm.
- Biến đổi sai khi chuyển vế: 3cos(…) + 12 = 10,5 cho cos(…) = −0,5, không phải −1,5.
- Nhầm chu kì: chu kì theo t là 12 giờ chứ không phải 6 giờ, nên các nghiệm cùng họ cách nhau 12.
Mẹo nhớ
Với dạng “A·cos(ωt + φ) + B = h”: (1) đổi về cos(…) = (h − B)/A; (2) nếu giá trị là 1, −1 thì chỉ có một họ nghiệm, còn các giá trị khác thì có hai họ ±α; (3) mỗi họ nghiệm cách nhau một chu kì T = 2π/ω.
Bài luyện tập tương tự
Bài 1. Với cùng công thức, tìm t (0 ≤ t < 24) để độ sâu là 13,5 m.
Đáp án: cos(πt/6 + π/3) = 1/2 = cos(π/3). Họ 1: t = 12k → t = 0, 12. Họ 2: πt/6 + π/3 = −π/3 + k2π ⇔ t = −4 + 12k → t = 8, 20. Vậy t ∈ {0; 8; 12; 20}.
Bài 2. Một con kênh khác có độ sâu h = 2cos(πt/6) + 8 (m), 0 ≤ t < 24 (đây là ví dụ tự đặt). Tìm t để h = 9.
Đáp án: cos(πt/6) = 1/2 ⇔ πt/6 = ±π/3 + k2π ⇔ t = ±2 + 12k. Trong [0; 24): t = 2, 10, 14, 22.
Bài 3. Với công thức đề bài, nước có thể sâu 16 m không? Vì sao?
Đáp án: Không, vì h ≤ 3·1 + 12 = 15 nên cos(…) = 4/3 vô nghiệm.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao độ sâu mực nước luôn nằm trong khoảng từ 9 m đến 15 m?
Vì cosin chỉ nhận giá trị từ −1 đến 1 nên h = 3cos(…) + 12 nằm trong đoạn [9; 15]. Giá trị 9 m là lúc nước thấp nhất, 15 m là lúc cao nhất.
Khi giải cos x = −1/2 cần lấy mấy họ nghiệm?
Lấy hai họ: x = 2π/3 + k2π và x = −2π/3 + k2π. Sau đó thay k nguyên để chọn các nghiệm thuộc khoảng đề cho.
Làm sao chọn đúng giá trị k để t thuộc [0; 24)?
Viết điều kiện 0 ≤ t < 24 với t là biểu thức theo k, giải bất phương trình tìm khoảng của k rồi lấy các số nguyên k thuộc khoảng đó.
Mỗi ngày nước lên cao nhất mấy lần?
Chu kì của hàm là 12 giờ nên trong một ngày (24 giờ) nước lên cao nhất hai lần, vào t = 10 và t = 22 giờ.