Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD, BM = 2MC: chứng minh MG // (ACD)

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC. Chứng minh rằng MG song song với mặt phẳng (ACD).

Lưu ý: đề gốc bị cắt ngang sau điều kiện BM = 2MC. Đây là dạng đề phổ biến nhất với giả thiết này nên trang giải theo yêu cầu “MG // (ACD)”. Cách làm vẫn dùng được cho các câu hỏi gần giống.

Kiến thức cần nhớ

• Trọng tâm tam giác: nằm trên mỗi trung tuyến, cách đỉnh bằng 2/3 độ dài trung tuyến đó.
• Định lí Ta-lét đảo: trong tam giác BCN, nếu M ∈ BC, G ∈ BN và BM/BC = BG/BN thì MG // CN.
• Điều kiện đường thẳng song song mặt phẳng: nếu đường thẳng d không nằm trong (P) và d song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì d // (P).

Lời giải chi tiết

1. Dựng điểm phụ. Gọi N là trung điểm của AD. Trong tam giác ABD, BN là trung tuyến nên trọng tâm G thuộc BN và BG = (2/3)·BN, tức BG/BN = 2/3.
2. Tính tỉ số trên BC. Vì BM = 2MC và M nằm giữa B, C nên BC = BM + MC = 3MC. Suy ra BM/BC = 2/3.
3. Dùng Ta-lét đảo. Trong mặt phẳng (BCN) ta có BM/BC = BG/BN = 2/3. Vậy MG // CN.
4. Chọn đường thẳng trong mặt phẳng. N thuộc AD nên N thuộc (ACD); C cũng thuộc (ACD). Do đó đường thẳng CN nằm trong (ACD).
5. Chứng tỏ MG không nằm trong (ACD). Nếu MG ⊂ (ACD) thì M ∈ (ACD). Khi đó M thuộc giao của đường thẳng BC với (ACD), mà giao này chỉ là điểm C. Điều này mâu thuẫn vì M ≠ C (M cách C một đoạn MC > 0). Vậy MG ⊄ (ACD).
6. Kết luận. MG // CN, CN ⊂ (ACD), MG ⊄ (ACD) nên MG // (ACD). ∎

Vì sao đề lại cho BM = 2MC?

Đó chính là điều kiện để tỉ số BM/BC bằng tỉ số BG/BN = 2/3. Nếu đổi thành BM = k·BC với k ≠ 2/3 thì MG không còn song song với CN, và MG cắt mặt phẳng (ACD). Nhớ nhanh: trọng tâm chia trung tuyến 2 : 1 thì điểm trên cạnh cũng phải chia 2 : 1 cùng phía đỉnh B.

Lỗi sai thường gặp

• Viết ngay MG // CN mà không nêu tỉ số bằng nhau, hoặc quên nói G thuộc BN.
• Nhầm tỉ số: BM/MC = 2 (không phải BM/BC). Phải đổi sang BM/BC = 2/3 mới so sánh được với BG/BN.
• Thiếu bước “MG không nằm trong (ACD)”. Đây là điều kiện bắt buộc của định lí, thiếu sẽ bị trừ điểm.
• Lấy nhầm N là trung điểm của AB hoặc BD. Muốn có đường thẳng trong (ACD) thì N phải thuộc AD.

Cách giải khác bằng vectơ

Đặt b, a, c, d là các vectơ vị trí của B, A, C, D so với một gốc tuỳ ý. Khi đó G = (a + b + d)/3, M = b + (2/3)(c − b) = (b + 2c)/3. Suy ra vectơ MG = (a + d − 2c)/3 = (2/3)·[(a + d)/2 − c] = (2/3)·vectơ CN, với N là trung điểm AD. Vậy MG cùng phương với CN, cho cùng kết luận.

Bài luyện tập

1. Cho tứ diện ABCD, K là trung điểm AB, I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ // (BCD) và IJ // (ACD).
   Đáp án gợi ý: I ∈ CK, J ∈ DK, KI/KC = KJ/KD = 1/3 nên IJ // CD. CD nằm trong cả hai mặt phẳng (BCD) và (ACD), còn IJ không nằm trong chúng nên IJ song song với cả hai.
2. Giữ nguyên đề trên, tìm tỉ số BM/BC để MG // (ACD).
   Đáp án: cần MG // CN, tức BM/BC = BG/BN = 2/3, nghĩa là BM = 2MC.
3. Trong đề trên, gọi P là điểm trên cạnh CD sao cho CP = 2PD. Hãy dự đoán vị trí MP so với mặt phẳng (ABD) rồi chứng minh.
   Đáp án gợi ý: MP // (ABD). Ta có CM/CB = 1/3 và CP/CD = 2/3 nên không song song BD; hãy thử lại với CP = (1/3)CD để có MP // BD ⊂ (ABD).