Trả lời nhanh
Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài đường thẳng d, chỉ có đúng một đường thẳng song song với d. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng 180°). Bài viết có 20 bài tập (8 trắc nghiệm, 12 tự luận) kèm lời giải.
Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
Trước khi làm bài, em chốt lại ba ý chính của Bài 10 (Toán 7, Kết nối tri thức). Nếu cần học kĩ hơn, xem phần lý thuyết đầy đủ tại Lý thuyết Tiên đề Euclid và tính chất hai đường thẳng song song.
- Tiên đề Euclid: qua điểm M ngoài đường thẳng d chỉ vẽ được một đường thẳng đi qua M và song song với d.
- Hệ quả: (a) Nếu a // b và đường thẳng c cắt a thì c cũng cắt b. (b) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
- Tính chất: đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra các cặp góc so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
Hình dưới đây là quy ước đánh số góc dùng xuyên suốt các bài tập tự luận (từ Bài 9 trở đi) để lời giải ngắn gọn.
| Cặp góc (theo hình trên) | Tên gọi | Khi a // b |
|---|---|---|
| A3 và B1; A4 và B2 | So le trong | Bằng nhau |
| A1 và B1; A2 và B2; A3 và B3; A4 và B4 | Đồng vị | Bằng nhau |
| A3 và B2; A4 và B1 | Trong cùng phía | Tổng bằng 180° |
| A1 và B3; A2 và B4 | So le ngoài | Bằng nhau |
Mẹo nhớ: “Song song thì bằng nhau ở so le và đồng vị, còn trong cùng phía thì bù nhau”. Ngược lại, muốn chứng minh song song, em chỉ cần chỉ ra một cặp so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau, hoặc một cặp trong cùng phía bù nhau.
Phần A. 8 câu trắc nghiệm
Câu 1. Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng d, số đường thẳng đi qua M và song song với d là:
A. 0; B. 1; C. 2; D. vô số.
Đáp án B. Đây chính là nội dung tiên đề Euclid: tồn tại và duy nhất. Các phương án A, C, D đều trái với tiên đề.
Câu 2. Hai đường thẳng phân biệt a và b cùng song song với đường thẳng c thì a và b:
A. cắt nhau; B. vuông góc; C. song song; D. trùng nhau.
Đáp án C. Nếu a và b cắt nhau tại O thì qua O có hai đường thẳng cùng song song với c, mâu thuẫn tiên đề. “Trùng nhau” loại vì đề cho a, b phân biệt.
Câu 3. Cho a // b, đường thẳng c cắt cả hai. Một góc đồng vị có số đo 70° thì góc đồng vị còn lại là:
A. 20°; B. 70°; C. 110°; D. 140°.
Đáp án B. Hai góc đồng vị của hai đường thẳng song song bằng nhau. Lỗi hay gặp là chọn C (110°) do nhầm sang góc kề bù.
Câu 4. Cho a // b và đường thẳng c cắt a. Khi đó c và b:
A. song song; B. trùng nhau; C. cắt nhau; D. vuông góc.
Đáp án C. Nếu c // b thì qua giao điểm của c và a có hai đường song song với b, vô lí. D sai vì chưa có dữ kiện về góc vuông.
Câu 5. Cho a // b, đường thẳng c cắt a, b. Hai góc trong cùng phía, một góc bằng 110°, góc kia bằng:
A. 110°; B. 70°; C. 250°; D. 90°.
Đáp án B. Hai góc trong cùng phía bù nhau: 180° − 110° = 70°.
Câu 6. Cho a // b, một cát tuyến tạo hai góc đồng vị có số đo (2x + 10)° và 70°. Giá trị của x là:
A. 20; B. 30; C. 40; D. 60.
Đáp án B. Đồng vị nên 2x + 10 = 70, suy ra x = 30. Thử lại: 2·30 + 10 = 70 ✓.
Câu 7. Phát biểu nào sau đây sai?
A. Hai đường thẳng song song thì không có điểm chung.
B. Qua một điểm ngoài đường thẳng d có hai đường thẳng song song với d.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
D. Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường còn lại.
Đáp án B. Phát biểu này trái tiên đề Euclid (chỉ có một đường). A là định nghĩa, C và D là hai hệ quả đã học.
Câu 8. Cho a // b và c vuông góc với a. Khi đó:
A. c // b; B. c trùng b; C. c vuông góc với b; D. c cắt b tạo góc 45°.
Đáp án C. c cắt a nên c cắt b; góc đồng vị với góc vuông tại a là góc vuông tại b. Chứng minh chi tiết ở Bài 12.
Phần B. 12 bài tự luận
Các bài từ 9 đến 11 và 17 đến 20 dùng hình đánh số góc ở trên; trong đó a // b, đường thẳng c cắt a tại A và cắt b tại B.
Bài 9. Biết a // b và A1 = 125°. Tính số đo các góc còn lại.
Giải. A3 = A1 = 125° (đối đỉnh). A2 = A4 = 180° − 125° = 55° (kề bù với A1, và đối đỉnh nhau). Vì a // b nên các góc đồng vị bằng nhau: B1 = A1 = 125°, B2 = A2 = 55°, B3 = A3 = 125°, B4 = A4 = 55°.
Kết quả: bốn góc 125° (A1, A3, B1, B3) và bốn góc 55° (A2, A4, B2, B4). Nhận xét: chỉ cần biết một góc là tìm được cả tám góc.
Bài 10. Biết a // b, A4 = (4x + 10)° và B1 = (2x + 20)° (hai góc trong cùng phía). Tìm x và số đo hai góc.
Giải. Hai góc trong cùng phía bù nhau nên (4x + 10) + (2x + 20) = 180, tức 6x + 30 = 180, suy ra x = 25. Vậy A4 = 110°, B1 = 70°.
Bài 11. Biết a // b, hai góc trong cùng phía A3 và B2 thoả mãn A3 bằng 2/3 góc B2. Tính A3 và B2.
Giải. A3 + B2 = 180°. Chia 180° theo tỉ lệ 2 : 3, mỗi phần là 180° : 5 = 36°. Vậy A3 = 2·36° = 72°, B2 = 3·36° = 108°. Thử lại: 72 : 108 = 2/3 ✓.
Bài 12. Cho a // b và c ⊥ a. Chứng minh c ⊥ b.
Giải. Vì c cắt a nên c cắt b (hệ quả của tiên đề Euclid). Gọi giao điểm là A (với a) và B (với b). Vì c ⊥ a nên A1 = 90°. Do a // b nên B1 = A1 = 90° (đồng vị). Vậy c ⊥ b.
Bài 13. Cho a ⊥ c và b ⊥ c (a, b phân biệt, cùng nằm trong một mặt phẳng). Chứng minh a // b.
Giải. Gọi c cắt a tại A, cắt b tại B. Khi đó A3 = 90° và B1 = 90°, hai góc này so le trong và bằng nhau nên a // b.
Bài 14 (nâng cao). Cho tam giác ABC. Qua A kẻ đường thẳng xy // BC (x cùng phía với B, y cùng phía với C). Chứng minh ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°.
Giải. Vì xy // BC nên ∠xAB = ∠ABC và ∠yAC = ∠ACB (các cặp góc so le trong). Ba góc ∠xAB, ∠BAC, ∠CAy ghép lại thành góc bẹt xAy nên tổng bằng 180°. Thay hai góc đầu bằng ∠ABC và ∠ACB ta được điều phải chứng minh. Đây chính là định lí tổng ba góc của tam giác, em sẽ gặp lại ở chương sau.
Bài 15. Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d. Bạn Lan vẽ đường thẳng a đi qua M và song song với d, bạn Minh vẽ đường thẳng b cũng đi qua M và song song với d. Hỏi a và b có vị trí thế nào? Vì sao?
Giải. a và b trùng nhau. Theo tiên đề Euclid, qua M chỉ có một đường thẳng song song với d, nên hai đường mà hai bạn vẽ phải là cùng một đường.
Bài 16. Cho a // b và đường thẳng c cắt a tại M. Chứng minh c cắt b.
Giải (phản chứng). Giả sử c không cắt b, tức c // b. Khi đó qua M có hai đường thẳng a và c cùng song song với b (a và c phân biệt vì c cắt a). Điều này mâu thuẫn tiên đề Euclid. Vậy c cắt b.
Bài 17. Biết a // b và A1 = 2·A2. Tính B3 và B4.
Giải. A1 và A2 kề bù nên A1 + A2 = 180°. Thay A1 = 2·A2 được 3·A2 = 180°, suy ra A2 = 60° và A1 = 120°. Ta có A3 = A1 = 120° (đối đỉnh), A4 = A2 = 60°. Vì a // b nên B3 = A3 = 120° và B4 = A4 = 60° (đồng vị).
Bài 18. Biết a // b và A1 + B3 = 240°. Tính A2 và B1.
Giải. A1 = A3 (đối đỉnh) và A3 = B3 (đồng vị) nên A1 = B3. Do đó mỗi góc bằng 240° : 2 = 120°. Suy ra A2 = 180° − 120° = 60° và B1 = A1 = 120° (đồng vị).
Bài 19. Đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n tại P và Q. Hai góc trong cùng phía tạo thành có số đo 75° và 105°. Hai đường thẳng m và n có song song không?
Giải. Có. Lấy góc 75° tại P; góc kề bù với nó (cùng ở P) bằng 180° − 75° = 105°. Góc này và góc 105° tại Q là một cặp góc so le trong và bằng nhau, nên m // n. Có thể nói gọn: hai góc trong cùng phía có tổng bằng 180° thì hai đường thẳng song song.
Bài 20. Biết a // b và A2 + B4 = 100° (hai góc so le ngoài). Tính A1 và B1.
Giải. Vì a // b nên A2 = B2 (đồng vị), mà B2 = B4 (đối đỉnh), suy ra A2 = B4 = 100° : 2 = 50°. Khi đó A1 = 180° − 50° = 130° (kề bù) và B1 = A1 = 130° (đồng vị).
Lỗi sai thường gặp khi làm bài về hai đường thẳng song song
- Dùng tính chất khi chưa biết song song. Chỉ được nói “so le trong bằng nhau” sau khi đề cho (hoặc em đã chứng minh) a // b.
- Nhầm góc trong cùng phía với góc đồng vị. Trong cùng phía thì tổng 180°, đồng vị thì bằng nhau.
- Quên ghi lí do ở mỗi bước (đối đỉnh, kề bù, so le trong, đồng vị…). Bài tự luận hình học bị trừ điểm nhiều nhất ở chỗ này.
- Hiểu sai tiên đề: tiên đề nói “một và chỉ một” đường song song, chứ không phải “có ít nhất một”.
Gợi ý tài liệu luyện thêm
- 20 câu trắc nghiệm Tiên đề Euclid, tính chất hai đường thẳng song song
- Giải SGK Toán 7 Bài 10 (Kết nối tri thức)
- Sách bài tập Toán 7 Bài 10 (Kết nối tri thức)
- Vở thực hành Toán 7 Bài 10 (Kết nối tri thức)
Cùng chuyên đề: Bài nằm trong mục lục Lý thuyết Tiên đề Euclid, tính chất hai đường thẳng song song – Toán 7 KNTT.
Câu hỏi thường gặp
Tiên đề Euclid phát biểu như thế nào?
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Tức là đường thẳng song song ấy vừa tồn tại, vừa duy nhất.
Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến thì các góc có tính chất gì?
Hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau và hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng bằng 180°).
Làm sao chứng minh hai đường thẳng song song?
Chỉ ra một cặp góc so le trong bằng nhau, hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau, hoặc một cặp góc trong cùng phía có tổng bằng 180°. Cũng có thể chứng minh cả hai cùng song song với đường thứ ba, hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng.
Nếu a // b và đường thẳng c cắt a thì c có cắt b không?
Có. Nếu c không cắt b thì c // b, khi đó qua giao điểm của c và a có hai đường thẳng cùng song song với b, trái với tiên đề Euclid.