Tính chất hình hộp chữ nhật, hình lập phương Toán 7

Trả lời nhanh

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật, 8 đỉnh, 12 cạnh và 4 đường chéo. Các mặt đối diện bằng nhau, các cạnh đối song song và bằng nhau, bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật đặc biệt có 6 mặt đều là hình vuông và 12 cạnh bằng nhau.

Bài này tóm tắt phần lý thuyết “Hình hộp chữ nhật và hình lập phương” trong Toán 7 (bộ Cánh Diều). Em đọc theo thứ tự: yếu tố, tính chất, công thức, rồi làm ví dụ và bài luyện tập ở cuối.

1. Hình hộp chữ nhật

Nhận biết

Hãy nghĩ đến hộp bút, viên gạch, cục tẩy hình khối: đó đều là hình hộp chữ nhật. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ gồm hai mặt đáy ABCD và A’B’C’D’ cùng bốn mặt bên. Cả sáu mặt đều là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với các kích thước a, b, c — Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ (nét đứt là các cạnh bị che khuất).

Các yếu tố của hình hộp chữ nhật

Yếu tố	Số lượng	Ví dụ trên ABCD.A’B’C’D’
Đỉnh	8	A, B, C, D, A’, B’, C’, D’
Cạnh	12	AB, BC, CD, DA, A’B’, B’C’, C’D’, D’A’, AA’, BB’, CC’, DD’
Mặt	6	ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’
Đường chéo (nối hai đỉnh không cùng nằm trên một mặt)	4	AC’, A’C, BD’, B’D

Ba kích thước của hình hộp chữ nhật là chiều dài, chiều rộng, chiều cao, tức độ dài của ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh (chẳng hạn AB, AD, AA’).

Tính chất cần nhớ

Mặt: sáu mặt đều là hình chữ nhật; hai mặt đối diện thì bằng nhau (ví dụ ABCD = A’B’C’D’, ABB’A’ = DCC’D’).
Cạnh: 12 cạnh chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 cạnh song song và bằng nhau. Chẳng hạn AB = DC = A’B’ = D’C’.
Cạnh bên vuông góc với đáy: AA’, BB’, CC’, DD’ vuông góc với hai mặt đáy.
Đường chéo: bốn đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

2. Hình lập phương

Hình lập phương (như con xúc xắc, khối rubik) có 6 mặt đều là hình vuông. Vì vậy cả 12 cạnh bằng nhau. Số đỉnh, số cạnh, số mặt, số đường chéo giống hình hộp chữ nhật: 8 – 12 – 6 – 4.

Mối quan hệ: hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi cả ba kích thước bằng nhau. Cũng giống như hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt. Do đó mọi tính chất của hình hộp chữ nhật đều đúng với hình lập phương, nhưng chiều ngược lại thì không.

So sánh	Hình hộp chữ nhật	Hình lập phương
Dạng các mặt	Hình chữ nhật	Hình vuông (6 mặt bằng nhau)
Kích thước	Dài a, rộng b, cao c	Một cạnh a duy nhất
Số cạnh bằng nhau	Từng nhóm 4 cạnh	Cả 12 cạnh

3. Công thức diện tích và thể tích

Gọi hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật cạnh a, b và chiều cao c. Hình hộp chữ nhật chính là một hình lăng trụ đứng tứ giác, nên em dùng được công thức chung “chu vi đáy nhân chiều cao”.

Diện tích xung quanh: S_xq = 2(a + b)·c
Diện tích toàn phần: S_tp = S_xq + 2ab = 2(ab + bc + ca)
Thể tích: V = a·b·c (bằng diện tích đáy nhân chiều cao)

Với hình lập phương cạnh a:

S_xq = 4a²
S_tp = 6a²
V = a³

Mở rộng (dùng định lý Pythagore): độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật là d = √(a² + b² + c²). Với hình lập phương, d = a√3.

4. Hình khai triển

Cắt dọc theo một số cạnh rồi trải phẳng một hình hộp chữ nhật, ta được hình khai triển gồm 6 hình chữ nhật, trong đó các cặp hình chữ nhật bằng nhau tương ứng với các cặp mặt đối diện. Với hình lập phương, ta được 6 hình vuông bằng nhau. Từ hình khai triển, em suy ra ngay diện tích toàn phần bằng tổng diện tích 6 hình đó.

5. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Nhận biết yếu tố

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 5 cm, AD = 3 cm, AA’ = 4 cm. Hãy cho biết độ dài DC, B’C’, CC’ và tính S_tp, V.

Giải. DC song song và bằng AB nên DC = 5 cm. B’C’ bằng BC, mà BC = AD nên B’C’ = 3 cm. CC’ = AA’ = 4 cm.

S_xq = 2·(5 + 3)·4 = 64 (cm²)
Diện tích hai đáy: 2·5·3 = 30 (cm²)
S_tp = 64 + 30 = 94 (cm²)
V = 5·3·4 = 60 (cm³)

Đường chéo A’C = √(25 + 9 + 16) = √50 = 5√2 ≈ 7,07 cm (phần mở rộng).

Ví dụ 2: Hình lập phương

Một hình lập phương có cạnh 6 cm. Tính tổng độ dài các cạnh, S_tp và V.

Giải. Tổng độ dài các cạnh: 12·6 = 72 (cm). S_tp = 6·6² = 216 (cm²). V = 6³ = 216 (cm³). Hai số bằng nhau chỉ là trùng hợp vì cạnh là 6; đơn vị của chúng hoàn toàn khác nhau (cm² và cm³).

Ví dụ 3: Tìm cạnh từ tổng độ dài các cạnh

Hình lập phương có tổng độ dài 12 cạnh là 60 cm. Tính thể tích.

Giải. Cạnh = 60 : 12 = 5 (cm). V = 5³ = 125 (cm³).

6. Lỗi sai thường gặp và mẹo nhớ

Nhầm đường chéo của mặt với đường chéo của hình hộp. AC là đường chéo của mặt đáy, còn AC’ mới là đường chéo của hình hộp. Em nhớ: đường chéo của hình hộp nối hai đỉnh “ở hai tầng khác nhau và không cùng mặt”.
Nhầm S_xq với S_tp. Xung quanh chỉ có 4 mặt bên; toàn phần cộng thêm 2 đáy. Bài toán “sơn bốn bức tường” là S_xq, bài “làm hộp kín” là S_tp.
Quên đổi đơn vị trước khi tính: 1 lít = 1 dm³ = 1000 cm³.
Quên bài toán không nắp. Bể cá, hộp không nắp chỉ có 5 mặt, nên trừ đi 1 đáy.
Mẹo đếm cạnh: 4 cạnh đáy dưới + 4 cạnh đáy trên + 4 cạnh bên = 12. Mẹo đếm đỉnh: 4 + 4 = 8.

7. Bài tập luyện tập (có đáp án)

Một hình hộp chữ nhật có kích thước 8 cm, 5 cm, 3 cm. Tính diện tích toàn phần và thể tích.
Một bể cá không nắp dạng hình hộp chữ nhật dài 60 cm, rộng 30 cm, cao 40 cm. Tính diện tích kính cần dùng và số lít nước khi bể đầy.
Một hình lập phương có thể tích 343 cm³. Tính độ dài cạnh và diện tích toàn phần.

Đáp án:

S_tp = 2(8·5 + 8·3 + 5·3) = 2(40 + 24 + 15) = 158 cm²; V = 8·5·3 = 120 cm³.
Kính gồm 4 mặt bên và 1 đáy: 2(60 + 30)·40 + 60·30 = 7200 + 1800 = 9000 cm². Thể tích 60·30·40 = 72 000 cm³ = 72 dm³ = 72 lít.
Vì 7³ = 343 nên cạnh bằng 7 cm. S_tp = 6·7² = 294 cm².

8. Tóm tắt nhanh

Hộp chữ nhật: 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt chữ nhật, 4 đường chéo bằng nhau.
Lập phương: 6 mặt vuông, 12 cạnh bằng nhau, là hộp chữ nhật đặc biệt.
V = abc; S_xq = 2(a + b)c; S_tp = S_xq + 2ab.
Lập phương: V = a³; S_tp = 6a².

Câu hỏi thường gặp

Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu đỉnh, cạnh, mặt?

Hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt (đều là hình chữ nhật). Ngoài ra nó có 4 đường chéo nối các đỉnh không cùng nằm trên một mặt.

Hình lập phương có phải là hình hộp chữ nhật không?

Có. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật đặc biệt có chiều dài, chiều rộng, chiều cao bằng nhau nên 6 mặt đều là hình vuông.

Công thức tính thể tích và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật?

Với ba kích thước a, b, c: V = a·b·c và S_tp = 2(ab + bc + ca). Diện tích xung quanh là S_xq = 2(a + b)·c với c là chiều cao.

Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có tính chất gì?

Bốn đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Độ dài mỗi đường chéo là căn bậc hai của tổng bình phương ba kích thước.