Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: lý thuyết, ví dụ, bài tập Toán 9

1. Quy tắc thế là gì?

Quy tắc thế là cách biến đổi một hệ phương trình thành hệ tương đương (có cùng tập nghiệm) nhưng dễ giải hơn. Tinh thần của nó rất đơn giản: nếu biết “x bằng cái gì” thì ở chỗ nào có x ta cứ viết cái đó vào.

Quy tắc gồm hai bước:

1. Bước 1: Từ một phương trình của hệ (gọi là phương trình thứ nhất), biểu diễn một ẩn theo ẩn kia. Thế biểu thức đó vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ còn một ẩn.
2. Bước 2: Viết hệ mới gồm phương trình vừa rút (giữ nguyên) và phương trình một ẩn vừa nhận được (thay cho phương trình thứ hai).

2. Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

1. Chọn một phương trình, rút một ẩn theo ẩn còn lại (ưu tiên ẩn có hệ số 1 hoặc −1 để tránh phân số).
2. Thế vào phương trình kia, thu được phương trình một ẩn.
3. Giải phương trình một ẩn đó.
4. Thay giá trị vừa tìm vào biểu thức đã rút để tìm ẩn còn lại.
5. Kết luận nghiệm (x; y) và thử lại vào cả hai phương trình ban đầu.

Mẹo chọn ẩn để rút: nhìn hệ số trước khi làm. Ví dụ ở phương trình x − 3y = 6, rút ngay x = 3y + 6 là gọn nhất; còn rút y thì phải chia cho 3 và sinh ra phân số.

3. Ba kết quả có thể xảy ra

Sau khi thế, phương trình một ẩn có dạng ax = b (hoặc tương tự). Em xét:

Phương trình sau khi thế	Kết luận	Ý nghĩa hình học
Có nghiệm duy nhất (hệ số ẩn khác 0)	Hệ có nghiệm duy nhất	Hai đường thẳng cắt nhau
Dạng 0x = số khác 0 (đẳng thức sai)	Hệ vô nghiệm	Hai đường thẳng song song
Dạng 0x = 0 (đẳng thức luôn đúng)	Hệ có vô số nghiệm	Hai đường thẳng trùng nhau

Đây chính là lưu ý quan trọng nhất của bài: khi cả hai hệ số của ẩn đều biến mất, đừng vội cho là mình làm sai, hãy nhìn vế phải để kết luận.

4. Ví dụ có lời giải chi tiết

Ví dụ 1 – Hệ có nghiệm duy nhất, rút ẩn có hệ số 1

Giải hệ: 2x + y = 5 và x − 3y = 6.

Giải. Từ phương trình thứ nhất: y = 5 − 2x. Thế vào phương trình thứ hai:

x − 3(5 − 2x) = 6 ⟺ x − 15 + 6x = 6 ⟺ 7x = 21 ⟺ x = 3.

Suy ra y = 5 − 2·3 = −1. Thử lại: 2·3 + (−1) = 5 ✓; 3 − 3·(−1) = 6 ✓.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; −1).

Hình dưới cho thấy ý nghĩa của kết quả: mỗi phương trình là một đường thẳng, nghiệm của hệ chính là toạ độ giao điểm.

Ví dụ 2 – Phải rút ra phân số

Giải hệ: 3x − 2y = 4 và 5x + 4y = 14.

Giải. Không có hệ số ±1 nên rút y từ phương trình thứ nhất: y = (3x − 4)/2. Thế vào phương trình thứ hai:

5x + 4·(3x − 4)/2 = 14 ⟺ 5x + 2(3x − 4) = 14 ⟺ 11x = 22 ⟺ x = 2.

Suy ra y = (3·2 − 4)/2 = 1. Thử lại: 6 − 2 = 4 ✓; 10 + 4 = 14 ✓.

Vậy (x; y) = (2; 1).

Nhận xét: hệ số 4 ở phương trình hai chia hết cho mẫu 2 nên mẫu số “biến mất” rất đẹp. Nếu không thấy được điều đó, em nên cân nhắc phương pháp cộng đại số.

Ví dụ 3 – Hệ vô nghiệm

Giải hệ: x − 2y = 3 và −2x + 4y = 5.

Giải. Từ phương trình thứ nhất: x = 2y + 3. Thế vào phương trình thứ hai:

−2(2y + 3) + 4y = 5 ⟺ −4y − 6 + 4y = 5 ⟺ 0y = 11.

Phương trình 0y = 11 vô nghiệm, nên hệ vô nghiệm. (Hai đường thẳng cùng hệ số góc 1/2 nhưng tung độ gốc khác nhau nên song song.)

Ví dụ 4 – Hệ có vô số nghiệm

Giải hệ: 2x − y = 4 và −6x + 3y = −12.

Giải. Từ phương trình thứ nhất: y = 2x − 4. Thế vào phương trình thứ hai:

−6x + 3(2x − 4) = −12 ⟺ −6x + 6x − 12 = −12 ⟺ 0x = 0.

Đẳng thức luôn đúng với mọi x. Vậy hệ có vô số nghiệm, được viết là (x; 2x − 4) với x ∈ ℝ.

Lỗi hay gặp: nhiều bạn chỉ ghi “vô số nghiệm” mà không viết dạng tổng quát. Hãy ghi rõ công thức nghiệm để bài làm đầy đủ.

Ví dụ 5 – Hệ chứa tham số

Giải và biện luận hệ: x − y = 1 và 2x − 2y = m (m là tham số).

Giải. Từ phương trình thứ nhất: y = x − 1. Thế vào phương trình thứ hai:

2x − 2(x − 1) = m ⟺ 2 = m.

• Nếu m = 2: đẳng thức đúng, hệ có vô số nghiệm (x; x − 1), x ∈ ℝ.
• Nếu m ≠ 2: đẳng thức sai, hệ vô nghiệm.

Lưu ý: ở bài này không có trường hợp nghiệm duy nhất, vì hai vế trái tỉ lệ nhau (phương trình hai gấp đôi vế trái phương trình một).

5. Những lỗi sai thường gặp

• Quên đổi dấu khi thế: thế y = 5 − 2x vào x − 3y phải viết x − 3(5 − 2x), có ngoặc. Bỏ ngoặc sẽ sai dấu ngay.
• Thế ngược vào chính phương trình đã rút: được đẳng thức 0 = 0 vô nghĩa. Phải thế vào phương trình còn lại.
• Chỉ tìm một ẩn rồi dừng: nghiệm của hệ là cặp (x; y), phải tìm đủ hai giá trị.
• Kết luận sai khi gặp 0x = b: b ≠ 0 là vô nghiệm, b = 0 là vô số nghiệm; đừng nhầm hai trường hợp.
• Không thử lại: chỉ mất ít giây nhưng giúp bắt được lỗi tính toán.

6. Khi nào nên dùng phương pháp thế?

Phương pháp thế hợp nhất khi một trong hai phương trình có ẩn với hệ số 1 hoặc −1, hoặc khi phương trình đã cho sẵn dạng y = ax + b. Nếu hệ số hai phương trình đều “xấu” nhưng tỉ lệ đẹp (đối nhau hoặc bằng nhau), phương pháp cộng đại số thường nhanh hơn. Hai cách cho cùng một kết quả, nên em có thể dùng cách này để kiểm tra cách kia.

7. Bài tập tự luyện (có đáp án)

1. Giải hệ: x + 2y = 5 và 3x − y = 1.
2. Giải hệ: 4x − 2y = 6 và −2x + y = −3.
3. Giải hệ: 3(x − 1) + 2y = 5 và x + 2(y − 1) = 4.
4. Giải và biện luận hệ: x − 2y = 1 và −3x + 6y = m.

Đáp án và gợi ý:

1. Rút x = 5 − 2y; thế: 3(5 − 2y) − y = 1 ⟹ 15 − 7y = 1 ⟹ y = 2, x = 1. Nghiệm (1; 2).
2. Từ phương trình hai: y = 2x − 3. Thế vào phương trình một: 4x − 2(2x − 3) = 6 ⟹ 6 = 6, đúng. Hệ có vô số nghiệm (x; 2x − 3), x ∈ ℝ.
3. Rút gọn: 3x + 2y = 8 và x + 2y = 6. Rút x = 6 − 2y; thế: 3(6 − 2y) + 2y = 8 ⟹ 18 − 4y = 8 ⟹ y = 5/2, suy ra x = 1. Nghiệm (1; 5/2).
4. Rút x = 1 + 2y; thế: −3(1 + 2y) + 6y = m ⟹ −3 = m. Nếu m = −3: vô số nghiệm (1 + 2y; y), y ∈ ℝ. Nếu m ≠ −3: vô nghiệm.

8. Tài liệu học tiếp

• Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và bài tập vận dụng
• 50 bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (có đáp án)
• 30 câu trắc nghiệm giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
• Giải SGK Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
• SBT Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp thế khác phương pháp cộng đại số ở điểm nào?

Phương pháp thế rút một ẩn từ phương trình này rồi thay vào phương trình kia. Phương pháp cộng đại số nhân các phương trình với số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế theo vế để khử một ẩn. Cả hai cho cùng nghiệm; thế hợp khi có hệ số ±1, cộng hợp khi hệ số tỉ lệ đẹp.

Rút ẩn nào trước thì dễ nhất?

Hãy rút ẩn có hệ số 1 hoặc −1 trong một phương trình bất kỳ, vì khi đó không xuất hiện phân số. Nếu không có hệ số như vậy, chọn ẩn mà hệ số chia hết được các hệ số còn lại.

Khi thế xong được 0x = 5 thì kết luận thế nào?

Đó là đẳng thức sai với mọi x nên hệ vô nghiệm, tức hai đường thẳng song song. Nếu được 0x = 0 thì hệ có vô số nghiệm vì hai đường thẳng trùng nhau.

Có cần thử lại nghiệm sau khi giải không?

Nên thử lại bằng cách thay cặp (x; y) vào cả hai phương trình ban đầu. Việc này mất rất ít thời gian và giúp phát hiện sai dấu hay sai phép tính, nhất là khi phải bỏ ngoặc hoặc quy đồng.

Bài học liên quan

• Cho hình vuông ABCD nằm trong đường tròn tâm O, AC = 10 cm: tính bán kính
• Cos 45 độ bằng bao nhiêu? Giá trị cos 45°, sin 45° và cách tính
• Giải Toán 9 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)
• Giải tam giác ABC vuông tại A: cách làm và ví dụ có lời giải
• Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 24m: cách giải
• Lý thuyết Đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và tứ giác ngoại tiếp – Toán 9