Bài toán nâng cao lớp 6 thường gặp có đáp án

Trả lời nhanh

Các bài toán nâng cao lớp 6 thường xoay quanh 6 dạng: tính nhanh và tính tổng dãy số, chia hết – số nguyên tố, ƯCLN – BCNN, phân số và số nguyên, so sánh lũy thừa, hình học đếm đường thẳng và bài toán có lời văn. Dưới đây là 12 bài tiêu biểu, mỗi bài có lời giải và mẹo nhận dạng.

Cách học những bài toán nâng cao lớp 6 hiệu quả

Nắm chắc kiến thức nền: dấu hiệu chia hết, phân tích ra thừa số nguyên tố, quy tắc dấu, tính chất phân số.
Gặp bài mới, hỏi mình: bài này thuộc dạng nào? Có thể tách, nhóm, hay đặt ẩn được không?
Làm xong luôn thử lại đáp số. Rất nhiều bài nâng cao sai vì quên một trường hợp.

Dạng 1. Tính nhanh, tính tổng

Bài 1. Tính A = 1 + 3 + 5 + … + 99.

Giải. Dãy có (99 − 1) : 2 + 1 = 50 số hạng, cách đều 2. A = (99 + 1) · 50 : 2 = 2500. Mẹo nhớ: tổng n số lẻ đầu tiên bằng n², nên A = 50² = 2500.

Bài 2. Tính S = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + … + 1/(99·100).

Giải. Dùng 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1). Khi cộng, các số hạng ở giữa triệt tiêu nhau: S = 1 − 1/100 = 99/100.

Lỗi hay gặp: quy đồng từng phân số rồi cộng – vừa dài vừa dễ sai.

Bài 3. Tìm n biết 1 + 2 + 3 + … + n = 210.

Giải. Tổng bằng n(n + 1)/2 nên n(n + 1) = 420 = 20 · 21. Vậy n = 20.

Dạng 2. Chia hết và số nguyên tố

Bài 4. Tìm chữ số x, y để số 23x5y chia hết cho 45.

Giải. 45 = 5 · 9 mà ƯCLN(5, 9) = 1, nên số phải chia hết cho cả 5 và 9.

Chia hết cho 5: y = 0 hoặc y = 5.
Chia hết cho 9: tổng chữ số 2 + 3 + x + 5 + y = 10 + x + y chia hết cho 9.
Với y = 0: 10 + x chia hết cho 9 nên x = 8, được 23850.
Với y = 5: 15 + x chia hết cho 9 nên x = 3, được 23355.

Đáp số: 23850 hoặc 23355 (kiểm tra: 23850 = 45 · 530; 23355 = 45 · 519).

Bài 5. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố.

Giải. Xét số dư khi chia p cho 3.

p = 3: p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là số nguyên tố. Thỏa mãn.
p chia 3 dư 1: p + 2 chia hết cho 3 và lớn hơn 3, nên là hợp số. Loại.
p chia 3 dư 2: p + 4 chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Loại.

Đáp số: p = 3. Mẹo: bài số nguyên tố liên quan đến “p + k” thường xét số dư khi chia cho 2 hoặc 3.

Dạng 3. ƯCLN, BCNN và bài toán số dư

Bài 6. Số học sinh khối 6 trong khoảng 300 đến 400. Khi xếp hàng 8, hàng 10 hoặc hàng 12 đều thừa 3 bạn. Hỏi khối có bao nhiêu học sinh?

Giải. Gọi số học sinh là a. Khi đó a − 3 chia hết cho 8, 10, 12. Có BCNN(8, 10, 12) = 120 (8 = 2³; 10 = 2·5; 12 = 2²·3). Vậy a − 3 là bội của 120, a = 120k + 3. Với 300 ≤ a ≤ 400 thì k = 3, a = 363.

Bài 7. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia 5 dư 4 và chia 7 dư 6.

Giải. Số n thỏa mãn thì n + 1 chia hết cho cả 5 và 7 (cùng thiếu 1 so với bội). BCNN(5, 7) = 35 nên n + 1 = 35 và n = 34. Kiểm tra: 34 = 5·6 + 4 = 7·4 + 6.

Mẹo nhận dạng: nếu các số dư “cách” số chia cùng một đoạn thì cộng thêm đoạn đó để về bội chung.

Dạng 4. Phân số và số nguyên

Bài 8. Tìm số nguyên n để phân số (n + 5)/(n + 2) có giá trị nguyên.

Giải. Viết (n + 5)/(n + 2) = 1 + 3/(n + 2). Để là số nguyên thì n + 2 phải là ước của 3, tức n + 2 ∈ {−3, −1, 1, 3}. Suy ra n ∈ {−5, −3, −1, 1}.

Bài 9. Tìm các số nguyên x, y biết (x − 1)(y + 2) = 5.

Giải. Tích bằng 5 nên x − 1 là ước của 5. Lập bảng:

x − 1	1	5	−1	−5
y + 2	5	1	−5	−1
(x ; y)	(2 ; 3)	(6 ; −1)	(0 ; −7)	(−4 ; −3)

Lỗi hay gặp: chỉ xét ước dương, quên các ước âm.

Dạng 5. So sánh lũy thừa

Bài 10. So sánh 2³⁰⁰ và 3²⁰⁰.

Giải. Đưa về cùng số mũ 100: 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰; 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰. Vì 8 < 9 nên 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰.

Mẹo: hai lũy thừa khác cơ số, khác số mũ thì tìm ước chung của hai số mũ để đưa về cùng số mũ.

Dạng 6. Hình học đếm và bài toán có lời văn

Bài 11. Cho 10 điểm, trong đó có đúng 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ đường thẳng đi qua hai trong các điểm đó. Có bao nhiêu đường thẳng?

Giải. Nếu không có 3 điểm nào thẳng hàng: 10 · 9 : 2 = 45 đường. Bốn điểm thẳng hàng lẽ ra tạo 4 · 3 : 2 = 6 đường, nhưng thực tế chỉ là 1 đường. Số đường thẳng là 45 − 6 + 1 = 40.

Bài 12. Bạn An đọc sách: ngày đầu đọc 1/3 quyển, ngày thứ hai đọc 3/5 số trang còn lại, ngày thứ ba đọc nốt 24 trang. Quyển sách có bao nhiêu trang?

Giải. Sau ngày 1 còn 1 − 1/3 = 2/3 quyển. Ngày 2 đọc 3/5 · 2/3 = 2/5 quyển. Còn lại 2/3 − 2/5 = 4/15 quyển, ứng với 24 trang. Vậy cả quyển là 24 : 4/15 = 90 trang. Thử lại: 30 + 36 + 24 = 90.

Bài luyện tập tự giải

Tính B = 2 + 4 + 6 + … + 100.
Tìm số nguyên tố p sao cho p + 10 và p + 14 cũng nguyên tố.
So sánh 5⁴⁰ và 2⁹⁰… hãy thử bằng cách đưa về cùng số mũ 10.

Đáp án gợi ý. (1) 2 · (1 + 2 + … + 50) = 2 · 1275 = 2550. (2) p = 3 (13, 17 nguyên tố); xét số dư khi chia cho 3 để loại các trường hợp còn lại. (3) 5⁴⁰ = 625¹⁰, 2⁹⁰ = 512¹⁰, nên 5⁴⁰ > 2⁹⁰.

Câu hỏi thường gặp

Bài toán nâng cao lớp 6 thường có những dạng nào?

Thường gặp nhất là tính tổng dãy số và phân số, chia hết và số nguyên tố, ƯCLN – BCNN, tìm số nguyên thỏa điều kiện, so sánh lũy thừa, hình học đếm điểm – đường thẳng và toán có lời văn.

Làm sao giải nhanh bài tổng 1/(n(n+1))?

Tách mỗi phân số thành hiệu 1/n − 1/(n+1). Khi cộng, các số hạng ở giữa triệt tiêu, chỉ còn số hạng đầu và cuối.

Cần nắm kiến thức nào trước khi làm bài nâng cao lớp 6?

Cần thuộc dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9, cách phân tích ra thừa số nguyên tố, cách tìm ƯCLN, BCNN, quy tắc dấu với số nguyên và các phép tính phân số.