Xác định a, b để x^4 + 4 chia hết cho x^2 + ax + b
Lớp 8Toán

Xác định a, b sao cho x⁴ + 4 chia hết cho x² + ax + b

Trả lời nhanh

Để x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b thì (a; b) = (2; 2) hoặc (a; b) = (−2; 2). Khi đó x4 + 4 = (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2). Cách làm: chia x4 + 4 cho x2 + ax + b rồi cho số dư bằng đa thức 0.

Lưu ý đề: ta hiểu đề là «x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b» với a, b là hằng số thực. Phần cuối bài có nhắc cả trường hợp đề là x4 − 4.

Cách 1: Thực hiện phép chia có dư

Chia x4 + 4 cho x2 + ax + b. Thương thứ nhất là x2, rồi −ax, rồi (a2 − b). Ta được:

x4 + 4 = (x2 + ax + b)(x2 − ax + a2 − b) + R(x)

Với số dư R(x) = −a(a2 − 2b)·x + 4 − b(a2 − b).

Kiểm tra nhanh: nhân (x2 + ax + b)(x2 − ax + a2 − b), hệ số x3 là −a + a = 0; hệ số x2 là (a2 − b) − a2 + b = 0; hệ số x là a(a2 − b) − ab = a(a2 − 2b); hệ số tự do là b(a2 − b). Vì vậy phần dư đúng như trên.

Cho số dư bằng 0

Phép chia hết khi R(x) ≡ 0, tức mọi hệ số của R bằng 0:

  • a(a2 − 2b) = 0 (1)
  • b(a2 − b) = 4 (2)

Trường hợp a = 0. Thay vào (2): −b2 = 4, vô nghiệm.

Trường hợp a ≠ 0. Từ (1) suy ra a2 = 2b. Thay vào (2): b(2b − b) = b2 = 4, nên b = 2 hoặc b = −2.

  • b = −2 thì a2 = −4: loại.
  • b = 2 thì a2 = 4, nên a = 2 hoặc a = −2: nhận.

Kết luận: (a; b) = (2; 2) hoặc (−2; 2).

Cách 2: Hệ số bất định

Vì x4 + 4 chia hết cho đa thức bậc hai, nên thương cũng bậc hai và có hệ số cao nhất bằng 1. Viết:

x4 + 4 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

Đồng nhất hệ số hai vế:

  • x3: a + c = 0, nên c = −a.
  • x2: b + d + ac = 0, nên b + d = a2.
  • x: ad + bc = 0, nên a(d − b) = 0.
  • Hằng số: bd = 4.

Nếu a = 0 thì b + d = 0 và bd = 4, tức −b2 = 4: vô lý. Vậy d = b, suy ra 2b = a2 và b2 = 4. Vì a2 ≥ 0 nên b = 2, a = ±2. Kết quả trùng cách 1.

Kiểm tra bằng phân tích đa thức thành nhân tử

Dùng thủ thuật thêm bớt: x4 + 4 = (x2 + 2)2 − 4x2 = (x2 + 2 − 2x)(x2 + 2 + 2x).

Đây chính là hai ước bậc hai ứng với (a; b) = (−2; 2) và (2; 2). Hai nhân tử trên không phân tích tiếp được trên tập số thực vì biệt thức 4 − 8 = −4 < 0, nên không còn ước bậc hai thực nào khác.

Lỗi sai thường gặp

  • Quên xét a = 0 hoặc bỏ sót nghiệm a = −2 (a2 = 4 cho hai giá trị của a).
  • Khi chia, quên rằng số dư phải có bậc nhỏ hơn 2 nên có dạng px + q; cần cho cả p và q bằng 0.
  • Nhận b = −2 mà không kiểm tra điều kiện a2 = 2b ≥ 0.

Mẹo nhớ: dạng x4 + 4k4 luôn tách được thành (x2 + 2kx + 2k2)(x2 − 2kx + 2k2) (hằng đẳng thức Sophie Germain). Ở bài này k = 1.

Bài luyện tập

  1. Phân tích x4 + 64 thành nhân tử rồi suy ra a, b để x4 + 64 chia hết cho x2 + ax + b.
    Đáp án: x4 + 64 = (x2 + 8)2 − 16x2 = (x2 + 4x + 8)(x2 − 4x + 8), nên (a; b) = (4; 8) hoặc (−4; 8).
  2. Tìm a, b thực để x4 + 1 chia hết cho x2 + ax + b.
    Đáp án: x4 + 1 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + √2·x + 1)(x2 − √2·x + 1), nên (a; b) = (√2; 1) hoặc (−√2; 1).
  3. Nếu đề là x4 − 4 chia hết cho x2 + ax + b thì sao?
    Đáp án: x4 − 4 = (x2 − 2)(x2 + 2). Với ước bậc hai có hệ số thực ta được (a; b) = (0; −2) hoặc (0; 2). Ngoài ra còn các ước dạng (x − √2)(x + √2) chính là x2 − 2, đã tính.

Câu hỏi thường gặp

Với giá trị nào của a, b thì x⁴ + 4 chia hết cho x² + ax + b?

Có hai cặp: (a; b) = (2; 2) và (a; b) = (−2; 2), ứng với x⁴ + 4 = (x² + 2x + 2)(x² − 2x + 2).

Vì sao phải cho cả hai hệ số của số dư bằng 0?

Chia cho đa thức bậc hai thì số dư có dạng px + q. Đa thức này bằng 0 với mọi x chỉ khi p = 0 và q = 0, nên ta có hệ hai phương trình ẩn a, b.

Có thể giải nhanh bài này mà không chia đa thức không?

Có. Viết x⁴ + 4 = (x² + 2)² − (2x)² rồi dùng hiệu hai bình phương để được hai nhân tử bậc hai, từ đó đọc ra a, b.

Nếu cho phép a, b là số phức thì sao?

Khi đó x⁴ + 4 có bốn nghiệm 1 + i, 1 − i, −1 + i, −1 − i, ghép hai nghiệm bất kì sẽ cho thêm các ước bậc hai hệ số phức. Với a, b thực chỉ còn hai cặp đã nêu.

Bài học liên quan