Trả lời nhanh
Độ dài đoạn AM bằng √29. Với A(2;0;0), B(0;3;1), C(−3;6;4) và M trên BC thỏa MC = 2MB, ta được M(−1;4;2). Bình phương khoảng cách là (−1−2)² + (4−0)² + (2−0)² = 9 + 16 + 4 = 29. Các đáp án đã công bố đều ra √29; chúng chỉ khác nhau ở chỗ √29 đứng ở C hay ở D.
Đề bài và các phương án
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), B(0;3;1), C(−3;6;4). Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM bằng:
- A. 3√3
- B. 2√7
- C. √30
- D. √29
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em. Một bản xếp √29 ở C và √30 ở D, bản khác đảo hai phương án này. Chữ cái vì thế lúc ghi C, lúc ghi D. Kết quả cần khoanh là √29. Điểm C trong đề gốc mang hoành độ âm. Đường dẫn cũ viết c-3-6-4 nên dễ đọc nhầm thành C(3;6;4); với hoành độ dương, AM không còn là √29 và không khớp các phương án.
Hình chỉ là sơ đồ tỉ lệ trên cạnh BC: đoạn MC dài gấp đôi đoạn MB. A không nằm trên đường thẳng BC. Số trên hình là tọa độ đúng của bài, không phải hình chiếu vuông góc xuống một mặt phẳng.
Cách tìm M và tính AM
Vì M nằm trên đoạn BC và MC = 2MB, điểm M gần B hơn gần C. Đoạn BC bị chia theo tỉ số BM : MC = 1 : 2, nên BM chiếm một phần ba độ dài BC.
Vectơ BC = C − B = (−3 − 0; 6 − 3; 4 − 1) = (−3; 3; 3).
M = B + (1/3) vectơ BC = (0; 3; 1) + (1/3)(−3; 3; 3) = (0; 3; 1) + (−1; 1; 1) = (−1; 4; 2).
Kiểm tra lại độ dài. Vectơ MB = M − B = (−1; 1; 1), nên MB = √(1 + 1 + 1) = √3. Vectơ MC = C − M = (−2; 2; 2), nên MC = √(4 + 4 + 4) = √12 = 2√3. Đúng là MC = 2MB, và M nằm giữa B và C.
Vectơ AM = M − A = (−1 − 2; 4 − 0; 2 − 0) = (−3; 4; 2).
AM = √[ (−3)² + 4² + 2² ] = √(9 + 16 + 4) = √29.
Thay tọa độ M vào công thức rồi tính lại từ A cũng ra cùng một căn. Không rút gọn √29 được nữa vì 29 là số nguyên tố.
Vì sao từng phương án kia sai
A. 3√3 là độ dài BC, không phải AM. BC = (−3; 3; 3), bình phương độ dài bằng 9 + 9 + 9 = 27, nên BC = √27 = 3√3. Em nào vừa tính xong vectơ BC rồi quên chưa tìm M sẽ khoanh nhầm phương án này.
B. 2√7 = √28, sát √29. Đây là bẫy cộng nhầm 9 + 16 + 4 thành 28, hoặc lấy hiệu tung độ, cao độ lệch một đơn vị rồi bình phương ra số thiếu 1. √28 không bằng √29.
C. √30 trong thứ tự phương án ở trên cũng là bẫy cộng thừa. 9 + 16 + 5 = 30, hoặc 9 + 16 + 4 rồi cộng thêm 1. Chỉ cần một tọa độ sai dấu là tổng bình phương nhảy sang 30. Nếu đề của em đặt √29 ở ô C thì ô √30 là phương án còn lại, vẫn loại.
Đảo tỉ số cũng không ra các đáp án A, B, C. Nếu đọc nhầm thành MB = 2MC thì M = B + (2/3) vectơ BC = (−2; 5; 3). Lúc đó AM = (−4; 5; 3) và AM = √(16 + 25 + 9) = √50 = 5√2, không có trong đề. Vậy đọc đúng MC = 2MB là điều kiện bắt buộc trước khi bấm máy.
Công thức nên nhớ
Khi M trên BC và BM : MC = m : n, với m, n dương, thì
M = (n · B + m · C) / (m + n), nếu viết theo độ dài hướng từ B sang C theo tỉ lệ m phần về phía C.
Với m = 1, n = 2: M = (2B + 1C) / 3 = (2·(0; 3; 1) + (−3; 6; 4)) / 3 = (−3; 6 + 6; 2 + 4) / 3 = (−3; 12; 6) / 3 = (−1; 4; 2). Cùng điểm với cách cộng một phần ba vectơ. Em dùng công thức nào cũng được, miễn là thay số xong phải thử lại MC có gấp đôi MB.
Khoảng cách hai điểm P(x1; y1; z1) và Q(x2; y2; z2) luôn là căn của (x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)². Không bỏ dấu âm trước khi bình phương: (−3)² vẫn là 9, không phải −9.
| Đại lượng | Tọa độ hoặc vectơ | Độ dài |
|---|---|---|
| B | (0; 3; 1) | |
| C | (−3; 6; 4) | |
| M | (−1; 4; 2) | |
| MB | (−1; 1; 1) | √3 |
| MC | (−2; 2; 2) | 2√3 |
| AM | (−3; 4; 2) | √29 |
Bài luyện
Bài 1. Giữ A, B, C của đề. Tìm tọa độ M mà không tính độ dài.
Đáp án: M(−1; 4; 2).
Bài 2. Cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). M trên BC và MC = 2MB. Tính AM.
Đáp án: Vectơ BC = (0; −2; 2). M = (0; 2; 0) + (1/3)(0; −2; 2) = (0; 4/3; 2/3). AM = (−1; 4/3; 2/3), bình phương độ dài bằng 1 + 16/9 + 4/9 = 29/9. Vậy AM = √29 / 3.
Bài 3. Vì sao không được kết luận A, B, C thẳng hàng chỉ từ việc đã tìm được M?
Đáp án: M được dựng trên BC, nên M, B, C thẳng hàng theo cách dựng. A không nằm trên BC: vectơ AB = (−2; 3; 1) và vectơ AC = (−5; 6; 4) không tỉ lệ, vì −2/−5 khác 3/6. Tam giác ABC tồn tại, AM là một trung tuyến theo tỉ lệ chứ không phải cạnh của đường thẳng BC.
Câu hỏi thường gặp
Độ dài AM bằng bao nhiêu?
Bằng √29. Điểm M là (−1; 4; 2), vectơ AM là (−3; 4; 2) và tổng bình phương các tọa độ bằng 29.
Vì sao đáp án lúc là C, lúc là D?
Các đề đảo chỗ √29 và √30. Số đúng luôn là √29; chữ cái đổi theo thứ tự in trên phiếu.
M có tọa độ gì khi MC = 2MB?
M(−1; 4; 2). M cách B một phần ba đoạn BC và cách C hai phần ba đoạn ấy.
3√3 là độ dài của đoạn nào?
Là độ dài BC, vì BC = (−3; 3; 3) và √27 = 3√3. Không phải độ dài AM.
Nếu C là (3;6;4) thì AM còn bằng √29 không?
Không. Khi hoành độ của C dương, M thành (1; 4; 2) và AM = √21, không nằm trong các phương án của đề.