Trả lời nhanh
5x² − 10xy + 5y² − 20z² = 5(x − y − 2z)(x − y + 2z). Cách làm: đặt nhân tử chung 5, gộp ba hạng tử đầu thành (x − y)², rồi áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương (x − y)² − (2z)². Đây là dạng “nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức”.
Đề bài
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = 5x² − 10xy + 5y² − 20z²
Lời giải chi tiết
Bước 1: Đặt nhân tử chung. Các hệ số 5, −10, 5, −20 đều chia hết cho 5 nên:
A = 5(x² − 2xy + y² − 4z²)
Bước 2: Nhóm ba hạng tử đầu. Ta thấy x² − 2xy + y² chính là bình phương của một hiệu:
A = 5[(x² − 2xy + y²) − 4z²] = 5[(x − y)² − 4z²]
Bước 3: Viết 4z² = (2z)² rồi dùng hiệu hai bình phương a² − b² = (a − b)(a + b) với a = x − y, b = 2z:
A = 5[(x − y)² − (2z)²] = 5[(x − y − 2z)(x − y + 2z)]
Kết luận: 5x² − 10xy + 5y² − 20z² = 5(x − y − 2z)(x − y + 2z).
Kiểm tra lại kết quả
Có hai cách để chắc chắn mình không nhầm dấu.
- Nhân ngược: (x − y − 2z)(x − y + 2z) = (x − y)² − 4z² = x² − 2xy + y² − 4z². Nhân với 5 được đúng đa thức ban đầu.
- Thay số: lấy x = 2, y = 1, z = 1. Đa thức gốc: 5·4 − 10·2 + 5·1 − 20·1 = 20 − 20 + 5 − 20 = −15. Dạng tích: 5·(2 − 1 − 2)·(2 − 1 + 2) = 5·(−1)·3 = −15. Hai giá trị bằng nhau nên kết quả đúng.
Vì sao nghĩ ra cách nhóm này?
Khi gặp đa thức có bốn hạng tử, ta thử nhìn xem có ba hạng tử nào “ghép” thành bình phương của tổng hoặc hiệu không. Ở đây x², −2xy, y² (sau khi đặt 5) là dấu hiệu rất rõ: hai số hạng bình phương và một số hạng gấp đôi tích. Hạng tử còn lại −4z² là một bình phương mang dấu trừ, nên toàn biểu thức có dạng (bình phương) − (bình phương).
Mẹo nhớ: bốn hạng tử, ba hạng tử đầu là bình phương, hạng tử cuối cũng là bình phương mang dấu trừ → nhóm 3 + 1 rồi dùng hiệu hai bình phương.
Lỗi sai thường gặp
- Quên đặt 5 ra ngoài ở kết quả cuối. Viết (x − y − 2z)(x − y + 2z) mà thiếu hệ số 5 là sai.
- Quên bình phương hệ số: 4z² = (2z)², không phải (4z)². Viết (x − y − 4z) là sai.
- Sai dấu khi nhóm: nếu nhóm −10xy + 5y² − 20z² với nhau thì không có hằng đẳng thức nào xuất hiện. Phải nhóm ba hạng tử đầu.
- Dừng sớm: viết 5[(x − y)² − 4z²] mới chỉ là bước trung gian, chưa phải tích các nhân tử đơn giản nhất.
Bài tập luyện tập
Hãy tự làm rồi đối chiếu đáp án:
- Phân tích 2a² − 4ab + 2b² − 18c² thành nhân tử.
- Phân tích 3x² + 6xy + 3y² − 27 thành nhân tử.
- Phân tích x² − y² + 6y − 9 thành nhân tử.
Đáp án:
- 2[(a − b)² − 9c²] = 2(a − b − 3c)(a − b + 3c).
- 3[(x + y)² − 9] = 3(x + y − 3)(x + y + 3).
- x² − (y² − 6y + 9) = x² − (y − 3)² = (x − y + 3)(x + y − 3).
Ở bài 3 không có nhân tử chung, nhưng ba hạng tử cuối −y² + 6y − 9 lập thành −(y − 3)², nên ta nhóm chúng lại với nhau. Chú ý đổi dấu khi đưa vào ngoặc có dấu trừ phía trước.
Câu hỏi thường gặp
Phân tích 5x² − 10xy + 5y² − 20z² thành nhân tử ra kết quả gì?
Kết quả là 5(x − y − 2z)(x − y + 2z), thu được sau khi đặt nhân tử chung 5 và dùng hiệu hai bình phương (x − y)² − (2z)².
Vì sao phải đặt nhân tử chung 5 trước?
Đặt 5 ra ngoài giúp ba hạng tử đầu trở thành x² − 2xy + y², dễ nhận ra hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.
Có thể nhóm theo cách khác không?
Không hiệu quả. Chỉ khi nhóm ba hạng tử đầu mới xuất hiện hằng đẳng thức; các cách nhóm khác không dẫn tới nhân tử chung hay hằng đẳng thức nào.
Làm sao kiểm tra nhanh kết quả phân tích đúng hay sai?
Nhân ngược các nhân tử để so với đa thức ban đầu, hoặc thay vài giá trị cụ thể của x, y, z vào hai vế xem có bằng nhau không.