Trả lời nhanh
Chỉ với điều kiện “hai đường chéo bằng nhau” thì chưa kết luận được tứ giác là hình gì, vì có những tứ giác thường (như hình diều) vẫn có hai đường chéo bằng nhau. Cần thêm điều kiện: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật; hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Vì sao “hai đường chéo bằng nhau” chưa đủ?
Hai đường chéo bằng nhau là tính chất của nhiều hình: hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân. Nhưng chiều ngược lại không đúng: có tứ giác không thuộc loại nào trong số đó mà vẫn có hai đường chéo bằng nhau.
Đây là lỗi hay gặp: học sinh thấy “chéo bằng nhau” liền kết luận “hình chữ nhật”. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật cần tứ giác đã là hình bình hành (hoặc có ba góc vuông).
Ví dụ cho thấy tứ giác không nhất thiết đặc biệt
Đặt hệ trục toạ độ, lấy A(−1; 0), B(0; −2), C(3; 0), D(0; 2). Khi đó AC = 4 và BD = 4, nên hai đường chéo bằng nhau. Tuy vậy các cạnh là AB = AD = √5 và CB = CD = √13, hai cặp cạnh kề bằng nhau nhưng không có cặp cạnh đối nào song song. Đây là hình diều, không phải hình thang, hình bình hành hay hình chữ nhật.
Khi nào kết luận được? Các trường hợp cần nhớ
| Tứ giác ban đầu | Thêm điều kiện | Kết luận |
|---|---|---|
| Hình bình hành | Hai đường chéo bằng nhau | Hình chữ nhật |
| Hình thang (đáy song song) | Hai đường chéo bằng nhau | Hình thang cân |
| Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường | Hai đường chéo bằng nhau | Hình chữ nhật |
| Hình thoi | Hai đường chéo bằng nhau | Hình vuông |
| Hình chữ nhật | Hai đường chéo vuông góc | Hình vuông |
Chứng minh hai kết luận quan trọng nhất
1. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
Cho hình bình hành ABCD có AC = BD. Xét hai tam giác ABD và DCA: AB = DC (cạnh đối của hình bình hành), BD = AC (giả thiết), AD là cạnh chung. Vậy △ABD = △DCA (c.c.c), suy ra góc BAD = góc CDA.
Mặt khác AB ∥ CD nên góc BAD + góc CDA = 180°. Hai góc bằng nhau và có tổng 180° nên mỗi góc bằng 90°. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
2. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có AC = BD. Kẻ BE ∥ AC (E thuộc đường thẳng CD) thì ABEC là hình bình hành nên BE = AC = BD. Tam giác BDE cân tại B, suy ra góc BDC = góc BEC; mà góc BEC = góc ACD (đồng vị). Do đó góc ACD = góc BDC. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
Mẹo nhớ và lỗi sai thường gặp
- Mẹo: thấy “chéo bằng nhau” thì hỏi ngay “tứ giác này đã là hình gì rồi?”. Bình hành → chữ nhật; thang → thang cân.
- Lỗi 1: kết luận hình chữ nhật cho mọi tứ giác có chéo bằng nhau.
- Lỗi 2: nhầm hình thang cân với hình chữ nhật. Hình thang cân chỉ có hai đường chéo bằng nhau, chưa chắc cắt nhau tại trung điểm.
- Lỗi 3: quên rằng hình thoi chéo bằng nhau mới là hình vuông; chéo vuông góc là tính chất sẵn có của hình thoi.
Bài luyện tập
- Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại O, OM = OP, ON = OQ và MP = NQ. Hỏi MNPQ là hình gì?
Đáp án: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên MNPQ là hình bình hành; lại có chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật. - Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau và cạnh dài 5 cm. Tính diện tích.
Đáp án: đó là hình vuông cạnh 5 cm nên diện tích bằng 5² = 25 cm². - Hình thang ABCD (AB ∥ CD) có AC = BD và góc A bằng 110°. Tính góc B.
Đáp án: ABCD là hình thang cân nên hai góc ở cùng một đáy bằng nhau, góc B = góc A = 110°.
Câu hỏi thường gặp
Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau có phải hình chữ nhật không?
Không nhất thiết. Hình diều hay nhiều tứ giác thường vẫn có hai đường chéo bằng nhau. Chỉ khi tứ giác đó là hình bình hành (hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) thì mới là hình chữ nhật.
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình gì?
Là hình thang cân. Đây là một dấu hiệu nhận biết hình thang cân trong chương trình Toán lớp 8.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình gì?
Là hình vuông, vì hình thoi là hình bình hành nên có hai đường chéo bằng nhau thì thành hình chữ nhật, mà hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông.
Hình nào có hai đường chéo bằng nhau?
Hình chữ nhật, hình vuông và hình thang cân đều có hai đường chéo bằng nhau. Hình bình hành và hình thoi nói chung thì không.