Khối 12 mặt đều là khối đa diện đều thuộc loại nào? {4;3} hay {5;3}

Ký hiệu {p;q} của khối đa diện đều nghĩa là gì?

Một khối đa diện đều loại {p;q} có hai tính chất: mỗi mặt là một đa giác đều p cạnh, và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt. Chữ số đứng trước nói về mặt, chữ số đứng sau nói về đỉnh.

Chương trình Hình học 12 chỉ có đúng 5 loại khối đa diện đều, ghi trong bảng dưới đây.

Vì sao khối 12 mặt đều là {5;3}?

• Mỗi mặt là ngũ giác đều nên p = 5.
• Tại mỗi đỉnh có 3 mặt gặp nhau nên q = 3.

Ta kiểm tra bằng số liệu. Có 12 mặt, mỗi mặt 5 cạnh, mà mỗi cạnh thuộc đúng 2 mặt, nên số cạnh là C = 12·5 : 2 = 30. Mỗi đỉnh có 3 cạnh, mỗi cạnh có 2 đầu, nên số đỉnh là Đ = 30·2 : 3 = 20.

Thử lại bằng công thức Euler: Đ − C + M = 20 − 30 + 12 = 2. Công thức đúng, nên các số liệu này hợp lý.

Loại trừ các loại còn lại

• {4;3}: mặt là hình vuông, mỗi đỉnh 3 mặt. Đây là khối lập phương, có 6 mặt, nên không phải khối 12 mặt.
• {3;4}: mặt tam giác, mỗi đỉnh 4 mặt. Đây là bát diện đều, có 8 mặt.
• {3;5}: mặt tam giác, mỗi đỉnh 5 mặt. Đây là nhị thập diện đều, có 20 mặt. Loại này dễ nhầm nhất vì cùng 30 cạnh với khối 12 mặt.
• {3;3}: tứ diện đều, chỉ có 4 mặt.

Mẹo nhớ nhanh

• Số mặt = 12 thì mặt là ngũ giác (có “5” trong {5;3}). Ghi nhớ: “mười hai mặt, mặt năm cạnh”.
• Thập nhị diện (12) và nhị thập diện (20) là hai khối đối ngẫu: đổi chỗ p và q là chuyển từ {5;3} sang {3;5}. Tương tự, lập phương {4;3} và bát diện đều {3;4} cũng là một cặp đối ngẫu.
• Khối đối ngẫu có cùng số cạnh. Vì vậy {5;3} và {3;5} cùng có 30 cạnh, {4;3} và {3;4} cùng có 12 cạnh.

Lỗi sai thường gặp

• Đọc ngược thứ tự p và q. Hãy nhớ p là số cạnh của mặt, q là số mặt tại một đỉnh.
• Thấy chữ số 4, 3 thì chọn bừa. {4;3} đúng là lập phương, không phải khối 12 mặt.
• Nhầm “thập nhị diện” (12 mặt) với “nhị thập diện” (20 mặt).

Bài luyện tập

1. Khối đa diện đều loại {3;5} có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh?
   Đáp án: 20 mặt, mỗi mặt 3 cạnh nên C = 20·3 : 2 = 30. Mỗi đỉnh có 5 cạnh nên Đ = 30·2 : 5 = 12. Kết quả: 12 đỉnh, 30 cạnh.
2. Một khối đa diện đều có mặt là hình vuông và mỗi đỉnh có 3 mặt. Hỏi khối này thuộc loại nào, có bao nhiêu mặt?
   Đáp án: loại {4;3}, là khối lập phương, có 6 mặt.
3. Có tồn tại khối đa diện đều loại {6;3} không?
   Đáp án: Không. Tại mỗi đỉnh có 3 góc của lục giác đều, tổng là 3·120° = 360°, nên các mặt phẳng ra, không tạo thành góc đa diện lồi. Vì vậy chỉ có 5 loại đã nêu ở trên.