Trả lời nhanh
Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, ta có √(a + b) ≤ √a + √b. Vì hai vế đều không âm nên có thể bình phương hai vế: bất đẳng thức tương đương với a + b ≤ a + b + 2√(ab), tức 2√(ab) ≥ 0, luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0.
Đề bài
Chứng minh rằng căn bậc hai của a + b nhỏ hơn hoặc bằng căn a cộng căn b, tức là:
√(a + b) ≤ √a + √b, với mọi a, b không âm.
Đây là bài toán quen thuộc trong chương Căn bậc hai (Toán 9). Bài này cũng giải thích vì sao căn của một tổng không bằng tổng các căn, một lỗi rất nhiều bạn mắc khi rút gọn biểu thức.
Lời giải (cách bình phương hai vế)
Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì √(a + b), √a, √b đều xác định và không âm, nên √(a + b) ≥ 0 và √a + √b ≥ 0.
Với hai số không âm, số nào có bình phương lớn hơn thì số đó lớn hơn. Vì vậy:
√(a + b) ≤ √a + √b ⇔ (√(a + b))² ≤ (√a + √b)²
⇔ a + b ≤ a + 2√a·√b + b
⇔ 0 ≤ 2√(ab).
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì √(ab) ≥ 0. Do các bước biến đổi đều tương đương, ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng: xảy ra khi 2√(ab) = 0, tức ab = 0, nghĩa là a = 0 hoặc b = 0. Khi a > 0 và b > 0 thì bất đẳng thức là nghiêm ngặt: √(a + b) < √a + √b.
Ví dụ kiểm tra: a = 16, b = 9 thì √(16 + 9) = √25 = 5, còn √16 + √9 = 4 + 3 = 7. Đúng là 5 < 7.
Cách 2: nhìn bằng hình học
Với a, b > 0, dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài √a và √b. Theo định lí Pythagore, cạnh huyền dài √((√a)² + (√b)²) = √(a + b).
Trong một tam giác, mỗi cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại (bất đẳng thức tam giác). Vì vậy cạnh huyền √(a + b) nhỏ hơn √a + √b. Khi một trong hai số bằng 0, tam giác “dẹt” thành đoạn thẳng và hai vế bằng nhau.
Dạng trắc nghiệm thường gặp
Câu hỏi: Với mọi số a, b không âm, khẳng định nào sau đây luôn đúng?
- A. √(a + b) = √a + √b
- B. √(a + b) ≥ √a + √b
- C. √(a + b) ≤ √a + √b
- D. √(a + b) ≤ √a · √b
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em.
Đáp án đúng: C, theo chứng minh ở trên.
- A sai: chỉ đúng khi a = 0 hoặc b = 0. Với a = b = 1: √2 ≈ 1,414 còn √1 + √1 = 2.
- B sai: ngược chiều. Cùng ví dụ a = 16, b = 9 cho 5 < 7.
- D sai: với a = b = 1 thì √2 ≈ 1,414 lớn hơn √1 · √1 = 1.
Kiến thức nền cần nắm
- √x chỉ xác định khi x ≥ 0, và √x ≥ 0.
- Với A ≥ 0, B ≥ 0: A ≤ B ⇔ A² ≤ B². Chỉ được bình phương hai vế khi biết chắc hai vế không âm.
- (√a + √b)² = a + 2√(ab) + b, với a, b ≥ 0.
- √a · √b = √(ab), với a, b ≥ 0.
Lỗi sai thường gặp
- Tách căn của tổng: viết √(9 + 16) = √9 + √16 = 7, trong khi kết quả đúng là 5.
- Bình phương mà không nêu điều kiện hai vế không âm, khiến lập luận thiếu chặt chẽ.
- Khai triển sai (√a + √b)² thành a + b, quên hạng tử 2√(ab).
- Kết luận sai dấu bằng, cho rằng dấu “=” xảy ra khi a = b. Thực tế a = b = 1 cho √2 < 2; dấu bằng chỉ xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
Bài tập vận dụng (có đáp án)
- So sánh √(25 + 9) và √25 + √9. Đáp án: √34 ≈ 5,83 < 5 + 3 = 8.
- Chứng minh √a − √b ≤ √(a − b) với a ≥ b ≥ 0. Đáp án: áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh cho hai số không âm a − b và b: √a = √((a − b) + b) ≤ √(a − b) + √b, chuyển vế được điều phải chứng minh.
- Chứng minh √(a + b + c) ≤ √a + √b + √c với a, b, c ≥ 0. Đáp án: áp dụng hai lần: √(a + b + c) ≤ √(a + b) + √c ≤ √a + √b + √c.
Câu hỏi thường gặp
Căn của a + b có bằng căn a + căn b không?
Nói chung là không. Ta luôn có √(a + b) ≤ √a + √b, và hai vế chỉ bằng nhau khi a = 0 hoặc b = 0. Ví dụ √(16 + 9) = 5 nhưng √16 + √9 = 7.
Dấu bằng trong √(a + b) ≤ √a + √b xảy ra khi nào?
Dấu bằng xảy ra khi 2√(ab) = 0, tức là a = 0 hoặc b = 0.
Vì sao được bình phương hai vế khi chứng minh?
Vì cả √(a + b) và √a + √b đều không âm. Với hai số không âm, A ≤ B tương đương A² ≤ B².
√(a + b) có lớn hơn hoặc bằng √a không?
Có. Với b ≥ 0 thì a + b ≥ a nên √(a + b) ≥ √a. Kết hợp lại ta có √a ≤ √(a + b) ≤ √a + √b.