Chứng minh rằng căn bậc hai của a+b nhỏ hơn hoặc bằng căn a + căn b...

Question

Chứng minh rằng a+b≤a+b, với mọi a,b không âm

VietJack · Accepted Answer

Hai vế của bất đẳng thức luôn không âm nên bình phương hai vế, ta được

$\begin{array}{l} {(\sqrt{a + b})}^{2} \leq {(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} \\ \Leftrightarrow a + b \leq a + 2 \sqrt{a b} + b \end{array}$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{a b} \geq 0$ (luôn đúng).

Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0

Do đó $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , với mọi a, b không âm.

Phương pháp giải

Sử dụng biến đổi tương đương

Một số kĩ thuật cơ bản:

+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức

+ Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức

+ Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức

+ Kỹ thuật đặt biến phụ

+ Kỹ thuật sắp thứ tự các biến.

+ Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến

Bài tập liên quan:

Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a $\neq$ b) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2 \sqrt{a} - 2 \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{2 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b}} - \frac{2 b}{b - a} = \frac{2 \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$

Cách giải:

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương - Toán 9

50 Bài tập Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương - Toán 9

Câu hỏi:

Chứng minh rằng $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b},$ với mọi a,b không âm

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho $a \geq 1$ . Chứng minh rằng $\sqrt{a - 1} < \sqrt{a}$

Câu 2:

Sử dụng quy tắc khai phương một tích, tính $\sqrt{81 a^{2}}$

Câu 3:

Thực hiện phép tính $A = \sqrt{72} . \sqrt{18}$

Câu 4:

Tính: $\sqrt{12, 1.490}$

Câu 5:

Giải phương trình sau $\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 x - 8} - \frac{2}{5} \sqrt{\frac{25 x - 50}{4}} = 4$

Câu 6:

Tính: $\sqrt{49.100}$

Câu 7:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Câu 8:

Rút gọn các biểu thức sau $\sqrt{8 a^{2}} . \sqrt{18 a^{4}}$ với a<0

Câu 9:

Tính: $\sqrt{72.32}$

Câu 10:

Biết $x^{2} + y^{2} = 117$ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $A = 2 x + 3 y$

Câu 11:

Sử dụng quy tắc khai phương một tích, tính $\sqrt{25.49}$

Câu 12:

Cho biểu thức $A = \frac{2 x^{2} - a x - 3 a^{2}}{2 x^{2} - 5 a x + 3 a^{2}}$
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Chứng minh rằng $A = {(a + \sqrt{a + 1})}^{2}$ khi $x = \sqrt{a^{2} + 1}$

Câu 13:

Rút gọn các biểu thức sau $\sqrt{27.48 {(a - 3)}^{2}}$

Câu 14:

Rút gọn các biểu thức sau $\sqrt{18.75 a^{2}}$

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất