Tam giác ABC vuông tại A, M, N là trung điểm

Trả lời nhanh

Với M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC và MN = BC/2. Từ đó tứ giác BMNC là hình thang (hai đáy MN và BC). Vì tam giác vuông tại A nên BC = √(AB² + AC²), suy ra MN tính được ngay.

Đề bài trên thường bị cắt ở câu “trung điểm của…”. Dạng phổ biến nhất là M, N là trung điểm của AB và AC. Bài viết này giải dạng đó, sau đó nêu thêm các biến thể hay gặp. Số liệu trong ví dụ là số tự đặt để minh hoạ.

Phân tích đề và hướng làm

Hai chữ “trung điểm” gợi ngay đến đường trung bình. Hai trung điểm nằm trên hai cạnh của cùng một tam giác thì đoạn nối chúng là đường trung bình. Giả thiết “vuông tại A” dùng để tính độ dài (định lí Pythagore) hoặc để chứng minh có góc vuông.

Lời giải mẫu (M, N là trung điểm AB, AC)

Câu a: Chứng minh MN // BC và MN = BC/2.

Tam giác ABC có M là trung điểm AB, N là trung điểm AC.
Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra MN // BC và MN = ¹/₂BC.

Câu b: Chứng minh BMNC là hình thang. Tứ giác BMNC có MN // BC (câu a), nên là hình thang với hai đáy MN và BC.

Câu c: Gọi D là điểm đối xứng với M qua N. Chứng minh AMCD là hình chữ nhật.

Tứ giác AMCD có hai đường chéo AC và MD cắt nhau tại N.
N là trung điểm AC (giả thiết) và N là trung điểm MD (D đối xứng M qua N).
Vậy AMCD là hình bình hành.
Hình bình hành này có góc MAC = 90° (vì góc A của tam giác vuông), nên AMCD là hình chữ nhật.

Ví dụ có số liệu (tự đặt)

Cho AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính MN, chu vi và diện tích hình thang BMNC.

BC² = 6² + 8² = 100, nên BC = 10 cm.
MN = BC/2 = 5 cm.
BM = AB/2 = 3 cm, NC = AC/2 = 4 cm.
Chu vi BMNC = BM + MN + NC + CB = 3 + 5 + 4 + 10 = 22 cm.
S_ABC = ½·6·8 = 24 cm². Tam giác AMN vuông tại A có AM = 3, AN = 4 nên S_AMN = ½·3·4 = 6 cm². Vậy S_BMNC = 24 − 6 = 18 cm².

Kiểm tra chéo: tam giác AMN có AM = 3, AN = 4 nên MN = √(9 + 16) = 5 cm, trùng với kết quả từ đường trung bình.

Các biến thể hay gặp

Đề bài	Kết quả cần nhớ
M là trung điểm BC	AM = BC/2 (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
M, N là trung điểm AB, AC	MN // BC, MN = BC/2
E là trung điểm BC, M, N như trên	AMEN là hình chữ nhật, AE = MN
D đối xứng N qua M	ANBD là hình chữ nhật

Với E là trung điểm BC: ME là đường trung bình nên ME // AC, NE // AB. Do đó AMEN là hình bình hành có một góc vuông tại A, nên là hình chữ nhật.

Lỗi sai thường gặp

Viết “MN = BC” thay vì MN = BC/2.
Chứng minh hình chữ nhật nhưng quên nêu góc vuông tại A đến từ giả thiết.
Gọi BMNC là hình bình hành. Thực tế BM không song song với NC, nên chỉ là hình thang.
Nhầm đường trung bình với trung tuyến. Trung bình nối hai trung điểm của hai cạnh, trung tuyến nối đỉnh với trung điểm cạnh đối.

Mẹo nhớ: thấy hai trung điểm trên hai cạnh thì viết ngay “đường trung bình”; thấy tam giác vuông thì nghĩ đến Pythagore và trung tuyến ứng với cạnh huyền.

Bài luyện tập

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 12 cm, AC = 16 cm; M, N là trung điểm AB, AC. Tính MN.
Đáp án: BC = √(144 + 256) = 20 cm, nên MN = 10 cm.
Với AB = 5 cm, AC = 12 cm, tính độ dài trung tuyến AE (E là trung điểm BC).
Đáp án: BC = 13 cm, nên AE = 6,5 cm.
Gọi E là trung điểm BC. Chứng minh AMEN là hình chữ nhật.
Gợi ý và đáp án: ME // AC và NE // AB nên AMEN là hình bình hành; có góc A = 90° nên là hình chữ nhật.

Câu hỏi thường gặp

Đề bài cắt ở chỗ "trung điểm của…" thì làm thế nào?

Trường hợp phổ biến nhất là M, N là trung điểm của AB và AC. Khi đó dùng tính chất đường trung bình. Nếu đề của bạn là trung điểm các cạnh khác, hãy đối chiếu bảng biến thể trong bài.

Vì sao BMNC là hình thang mà không phải hình thang cân?

Hình thang BMNC có BM = AB/2 và NC = AC/2. Hai cạnh bên này bằng nhau chỉ khi AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A. Nếu không thì chỉ là hình thang thường.

Khi nào AMCD là hình chữ nhật?

Khi D đối xứng với M qua N thì AMCD là hình bình hành. Vì góc MAC = 90° nên nó là hình chữ nhật.

Trung tuyến ứng với cạnh huyền có tính chất gì?

Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Ví dụ AE = BC/2 với E là trung điểm BC.