Cho hình vuông ABCD nằm trong đường tròn tâm O, AC dài 10 cm
Lớp 9Toán

Cho hình vuông ABCD nằm trong đường tròn tâm O, AC = 10 cm: tính bán kính

Trả lời nhanh

Bán kính của đường tròn (O) là R = 5 cm. Hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn nên đường tròn này ngoại tiếp hình vuông. Hai đường chéo cắt nhau tại tâm O và bằng nhau, nên đường chéo AC chính là đường kính: R = AC : 2 = 10 : 2 = 5 (cm).

Đề bài và cách hiểu hình vẽ

Đề bài: Cho hình vuông ABCD nằm trong đường tròn tâm O như hình vẽ, biết AC dài 10 cm. Tính độ dài bán kính của đường tròn (O).

Ở dạng bài này, “nằm trong đường tròn” được hiểu là hình vuông nội tiếp, tức bốn đỉnh A, B, C, D đều thuộc đường tròn. Nếu các đỉnh không nằm trên đường tròn thì đề thiếu dữ kiện để tính bán kính.

Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường chéo AC đi qua tâm O
Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O): đường chéo AC = 10 cm là đường kính nên R = 5 cm.

Lời giải chi tiết

  1. Tính chất đường chéo hình vuông. Trong hình vuông ABCD, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi giao điểm là I thì IA = IB = IC = ID = AC : 2.
  2. Xác định tâm. Điểm I cách đều bốn đỉnh nên I là tâm đường tròn đi qua A, B, C, D. Đường tròn này chính là (O), do đó I trùng O. Vậy O là giao điểm hai đường chéo.
  3. Tính bán kính. OA = OC = AC : 2 = 10 : 2 = 5 (cm).

Đáp số: R = 5 cm.

Giải thích bằng cách khác: đường kính chắn góc vuông

Góc ABC của hình vuông bằng 90°. Một góc nội tiếp bằng 90° thì chắn nửa đường tròn, nên AC là đường kính của (O). Vậy 2R = AC = 10 nên R = 5 cm. Cách này không cần nhắc đến trung điểm đường chéo, rất tiện khi gặp hình chữ nhật hoặc tam giác vuông nội tiếp.

Kiểm tra lại bằng cạnh hình vuông

Gọi a là cạnh hình vuông. Tam giác ABC vuông cân tại B, theo Pytago: a2 + a2 = AC2 = 100, suy ra a2 = 50 và a = 5√2 ≈ 7,07 cm.

  • Diện tích hình vuông: a2 = 50 cm2.
  • Công thức tổng quát: R = a√2 : 2. Thay a = 5√2 được R = 5√2·√2 : 2 = 10 : 2 = 5 cm, khớp với kết quả trên.

Bảng nhớ nhanh

Đại lượng Công thức theo cạnh a Với a = 5√2 cm
Đường chéo a√2 10 cm
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = a√2 : 2 5 cm
Bán kính đường tròn nội tiếp r = a : 2 5√2 : 2 ≈ 3,54 cm

Mẹo nhớ: đường tròn ngoại tiếp đi qua các đỉnh nên bán kính bằng nửa đường chéo. Đường tròn nội tiếp chạm các cạnh nên bán kính bằng nửa cạnh.

Lỗi sai thường gặp

  • Lấy R = 10 cm vì nhầm AC với bán kính. AC là đường kính, phải chia đôi.
  • Nhầm với đường tròn nội tiếp và lấy R = a : 2. Bài cho đường tròn đi qua bốn đỉnh nên đó là đường tròn ngoại tiếp.
  • Làm tròn quá sớm khi tính cạnh a = 5√2 rồi suy ngược R, dễ ra 4,99 hay 5,01. Hãy giữ dạng căn hoặc dùng R = AC : 2 trực tiếp.

Bài tập tự luyện

  1. Hình vuông MNPQ có cạnh 6 cm nội tiếp đường tròn (O). Tính bán kính R.
    Đáp án: đường chéo MP = 6√2 cm, nên R = 3√2 ≈ 4,24 cm.
  2. Đường tròn (O; 7 cm) ngoại tiếp hình vuông EFGH. Tính cạnh và diện tích hình vuông.
    Đáp án: đường chéo = 14 cm, cạnh = 14 : √2 = 7√2 cm, diện tích = (7√2)2 = 98 cm2.
  3. Tính diện tích hình tròn (O) trong bài gốc (lấy π ≈ 3,14).
    Đáp án: S = π·52 = 25π ≈ 78,5 cm2. Phần hình tròn nằm ngoài hình vuông có diện tích khoảng 78,5 − 50 = 28,5 cm2.

Câu hỏi thường gặp

Hình vuông nội tiếp đường tròn thì tâm đường tròn nằm ở đâu?

Tâm đường tròn là giao điểm của hai đường chéo, vì giao điểm này cách đều bốn đỉnh của hình vuông.

Vì sao AC là đường kính của đường tròn (O)?

Góc ABC = 90° là góc nội tiếp chắn cung AC nên cung đó là nửa đường tròn, suy ra AC là đường kính. Cũng có thể nói O là trung điểm của AC.

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a là gì?

R = a√2 : 2, tức là bằng nửa đường chéo. Ví dụ cạnh 5√2 cm thì R = 5 cm.

Nếu đề cho cạnh hình vuông thay vì AC thì làm thế nào?

Tính đường chéo bằng a√2 rồi chia đôi để được bán kính, hoặc dùng thẳng công thức R = a√2 : 2.

Bài học liên quan