Trả lời nhanh
Tứ diện đều là tứ diện có cả 6 cạnh bằng nhau, nên bốn mặt đều là các tam giác đều bằng nhau. Với cạnh a, tứ diện đều có chiều cao h = a√6/3, diện tích toàn phần S = a²√3 và thể tích V = a³√2/12. Tâm của tứ diện cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp, với R = a√6/4 và r = a√6/12.
1. Tứ diện và tứ diện đều
Tứ diện ABCD là hình có bốn đỉnh A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng, gồm 4 mặt là tam giác và 6 cạnh. Chọn một đỉnh bất kì làm đỉnh thì mặt đối diện với nó gọi là mặt đáy. Chẳng hạn chọn A làm đỉnh thì (BCD) là đáy.
Tứ diện đều là tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều bằng nhau. Điều đó tương đương với việc cả 6 cạnh có cùng độ dài a. Trong phân loại khối đa diện đều, tứ diện đều thuộc loại {3;3}: mỗi mặt là tam giác đều (3 cạnh) và mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 mặt. Nó có 4 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt và thoả hệ thức Ơ-le: 4 − 6 + 4 = 2.
Tứ diện đều có phải hình chóp tam giác đều không?
Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều, nhưng ngược lại thì chưa chắc. Hình chóp tam giác đều chỉ cần đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Chỉ khi cạnh bên đúng bằng cạnh đáy thì nó mới trở thành tứ diện đều.
2. Tính chất của tứ diện đều
- Bốn mặt là bốn tam giác đều bằng nhau; mọi góc của các mặt đều bằng 60° nên tổng ba góc phẳng tại mỗi đỉnh bằng 180°.
- Các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau (AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC).
- Chân đường cao hạ từ một đỉnh trùng với tâm (trọng tâm, trực tâm) của mặt đối diện. Bốn đường cao bằng nhau và đồng quy tại một điểm O.
- Điểm O là tâm của tứ diện, đồng thời là tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp. Nó chia mỗi đường cao theo tỉ lệ 3 : 1 kể từ đỉnh.
- Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện là đường vuông góc chung của hai cạnh đó, có độ dài a√2/2.
- Có 6 mặt phẳng đối xứng (mỗi mặt phẳng chứa một cạnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện) và 3 trục đối xứng (các đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối).
- Góc nhị diện giữa hai mặt bất kì có côsin bằng 1/3 (khoảng 70,5°).
Lưu ý: tứ diện đều có thể xem là nội tiếp trong một hình lập phương, với các cạnh của nó là đường chéo các mặt của hình lập phương. Cạnh hình lập phương đó bằng a√2/2. Đây là mẹo rất hay để tính thể tích hoặc bán kính cầu.
3. Cách vẽ tứ diện đều
- Vẽ tam giác đáy BCD (theo phép chiếu thường có dạng tam giác thoi). Cạnh nằm khuất, thường là BD, được vẽ bằng nét đứt.
- Lấy điểm A phía trên, gần vuông góc với trọng tâm của đáy.
- Nối A với B, C, D. Các cạnh nhìn thấy vẽ nét liền, cạnh bị che vẽ nét đứt.
- Có thể vẽ thêm đường cao AH với H là trọng tâm tam giác BCD để dễ tính toán.
4. Các công thức tính nhanh với cạnh a
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Diện tích một mặt | a²√3/4 |
| Diện tích toàn phần | a²√3 |
| Chiều cao | h = a√6/3 |
| Thể tích | V = a³√2/12 |
| Bán kính mặt cầu ngoại tiếp | R = a√6/4 |
| Bán kính mặt cầu nội tiếp | r = a√6/12 |
5. Chứng minh công thức thể tích
Đáy BCD là tam giác đều cạnh a nên diện tích Sđáy = a²√3/4. Gọi H là tâm của đáy, khoảng cách từ H đến mỗi đỉnh đáy bằng a√3/3. Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AHB:
AH² = AB² − BH² = a² − a²/3 = 2a²/3, suy ra h = a√6/3.
Do đó V = (1/3)·Sđáy·h = (1/3)·(a²√3/4)·(a√6/3) = a³√18/36 = a³√2/12.
Cách kiểm tra bằng hình lập phương: lập phương cạnh a√2/2 có thể tích a³√2/4. Cắt bỏ bốn góc, mỗi góc là một tứ diện vuông thể tích bằng 1/6 thể tích lập phương, phần còn lại là a³√2/4·(1 − 4/6) = a³√2/12, trùng với kết quả trên.
Từ đó có R = (3/4)h = a√6/4 và r = (1/4)h = a√6/12, vì tâm O chia đường cao theo tỉ lệ 3 : 1.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm tứ diện đều với tứ diện có các mặt chỉ cân hoặc hình chóp tam giác đều.
- Lấy khoảng cách từ tâm đáy tới đỉnh đáy là a√3/2 (đây là đường cao tam giác đều), trong khi đúng phải là a√3/3.
- Viết thể tích thiếu hệ số 1/3 hoặc nhầm thành a³√3/12.
- Cho rằng tứ diện đều có tâm đối xứng. Thực tế nó chỉ có trục và mặt phẳng đối xứng, không có tâm đối xứng.
6. Bài tập có đáp án
- Bài 1. Tính thể tích và chiều cao của tứ diện đều cạnh 6. Giải: V = 6³√2/12 = 18√2; h = 6√6/3 = 2√6.
- Bài 2. Tứ diện đều có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng √6. Tính thể tích. Giải: R = a√6/4 = √6 nên a = 4; V = 4³√2/12 = 16√2/3.
- Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M và N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN. Giải: Tam giác NAB cân tại N với NA = NB = a√3/2 (trung tuyến mặt đều). Suy ra MN² = NA² − AM² = 3a²/4 − a²/4 = a²/2, MN = a√2/2.
Tài liệu cùng chủ đề
- Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
- Giải Toán 12 bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
- 50 bài tập khối đa diện lồi và khối đa diện đều
Câu hỏi thường gặp
Tứ diện đều là gì?
Là tứ diện có cả 6 cạnh bằng nhau, nên bốn mặt đều là các tam giác đều bằng nhau.
Công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a là gì?
V = a³√2/12, với chiều cao h = a√6/3 và diện tích đáy a²√3/4.
Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Có 6 mặt phẳng đối xứng, mỗi mặt phẳng chứa một cạnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện.
Hình chóp tam giác đều có phải tứ diện đều không?
Không nhất thiết. Chỉ khi cạnh bên bằng cạnh đáy thì hình chóp tam giác đều mới là tứ diện đều.