Trả lời nhanh
Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh; nó song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai cạnh bên; nó song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.
1. Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác.
Tam giác ABC có D là trung điểm AB, E là trung điểm AC thì DE là đường trung bình ứng với cạnh BC. Mỗi tam giác có đúng ba đường trung bình.
Tính chất.
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba: DE // BC.
- Đường trung bình bằng nửa cạnh thứ ba: DE = 1/2BC.
Dấu hiệu nhận biết (mệnh đề đảo). Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Chứng minh nhanh
Lấy F đối xứng với D qua E. Tứ giác ADCF có hai đường chéo AC và DF cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên là hình bình hành. Suy ra CF // AD và CF = AD = DB.
Từ đó DBCF có DB // CF và DB = CF nên cũng là hình bình hành. Vậy DF // BC và DF = BC. Vì DE = 1/2DF nên DE // BC và DE = 1/2BC.
2. Đường trung bình của hình thang
Định nghĩa. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên.
Hình thang ABCD có đáy AB // CD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC thì MN là đường trung bình.
Tính chất.
- Đường trung bình song song với hai đáy: MN // AB // CD.
- Độ dài bằng nửa tổng hai đáy: MN = (AB + CD)/2.
Dấu hiệu nhận biết. Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại.
Chứng minh nhanh
Gọi K là giao điểm của AN và đường thẳng CD. Hai tam giác NBA và NCK có NB = NC, góc ANB = góc CNK (đối đỉnh), góc ABN = góc KCN (so le trong) nên bằng nhau. Do đó AB = CK và N là trung điểm AK.
Trong tam giác ADK, MN là đường trung bình nên MN // DK và MN = 1/2DK = 1/2(DC + CK) = 1/2(CD + AB).
Lưu ý: nội dung đường trung bình của hình thang xuất hiện trong chương trình Toán 8 cũ; ở một số bộ sách hiện hành phần này chỉ là kiến thức mở rộng, nhưng vẫn rất hay gặp khi luyện bài hình.
3. Bảng so sánh
| Nội dung | Tam giác | Hình thang |
|---|---|---|
| Nối trung điểm của | hai cạnh bất kì | hai cạnh bên |
| Quan hệ song song | song song cạnh thứ ba | song song hai đáy |
| Độ dài | bằng nửa cạnh thứ ba | bằng nửa tổng hai đáy |
| Số đường trung bình | 3 | 1 |
Mẹo nhớ: hình thang có hai đáy; nếu cho đáy nhỏ co lại về 0 thì hình thang thành tam giác và công thức (AB + CD)/2 trở thành CD/2, đúng bằng tính chất của tam giác.
4. Mở rộng: đường trung bình cắt hai đường chéo
Trong hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD), đường trung bình MN cắt BD tại I và AC tại K. Áp dụng tính chất cho các tam giác DAB, DAC, … ta được:
- MI = KN = AB/2;
- IN = MK = CD/2;
- IK = CD − AB/2.
Đây là cách nhanh để tính đoạn nằm giữa hai đường chéo mà không cần vẽ thêm.
5. Lỗi sai thường gặp
- Gọi đoạn nối trung điểm hai cạnh đáy của hình thang là “đường trung bình” – sai, phải là hai cạnh bên.
- Viết MN = 1/2(AB − CD) hoặc MN = 1/2CD cho hình thang – nhầm giữa hai công thức.
- Dùng tính chất khi chưa chứng minh được hai điểm là trung điểm; bài toán thường yêu cầu tự chỉ ra điều này trước.
- Quên rằng đường trung bình của tam giác chỉ có độ dài bằng nửa cạnh thứ ba khi hai đầu mút là trung điểm của hai cạnh còn lại.
6. Bài luyện tập
Bài 1. Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC và DE = 4,5 cm. Tính BC.
Đáp án: DE là đường trung bình nên BC = 2·DE = 9 cm.
Bài 2. Hình thang có hai đáy dài 6 cm và 10 cm. Tính độ dài đường trung bình.
Đáp án: (6 + 10) : 2 = 8 cm.
Bài 3. Đường trung bình của hình thang dài 12 cm, đáy lớn hơn đáy nhỏ 4 cm. Tính hai đáy.
Đáp án: Tổng hai đáy = 2·12 = 24 cm. Đáy lớn = (24 + 4) : 2 = 14 cm, đáy nhỏ = 10 cm.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD; E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh EFGH là hình bình hành.
Gợi ý và đáp án: Trong tam giác ABC, EF là đường trung bình nên EF // AC và EF = 1/2AC. Trong tam giác ADC, HG là đường trung bình nên HG // AC và HG = 1/2AC. Vậy EF // HG và EF = HG nên EFGH là hình bình hành.
Câu hỏi thường gặp
Đường trung bình của tam giác có mấy tính chất?
Có hai tính chất: song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng nửa cạnh thứ ba.
Công thức đường trung bình của hình thang là gì?
Đường trung bình bằng nửa tổng hai đáy: MN = (AB + CD) : 2, và song song với hai đáy.
Đường trung bình khác đường trung tuyến thế nào?
Đường trung bình nối trung điểm hai cạnh; đường trung tuyến nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện.
Khi nào dùng tính chất đường trung bình để chứng minh song song?
Khi đã có hai điểm là trung điểm của hai cạnh của một tam giác, hoặc hai cạnh bên của một hình thang, ta suy ngay ra song song và quan hệ độ dài.