Trả lời nhanh
Điều kiện xác định của phân thức A/B là B ≠ 0. Muốn viết ĐKXĐ, em cho mẫu thức khác 0 rồi giải để tìm giá trị của biến bị loại. Ví dụ, với phân thức 3/(2x + 5) thì 2x + 5 ≠ 0, suy ra x ≠ −5/2.
Đề bài “Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau” xuất hiện ngay ở phần đầu chương Phân thức đại số, lớp 8. Phần chữ trên đường dẫn cho thấy câu a) có dạng 3/(2x + 5). Vì không có đủ dữ liệu các câu còn lại, bài này hướng dẫn phương pháp và làm các ví dụ do chúng tôi tự đặt. Em chỉ cần thay biểu thức ở đề của mình vào đúng các bước dưới đây.
Điều kiện xác định là gì?
Phân thức đại số có dạng A/B, trong đó A, B là các đa thức và B khác đa thức 0. Phân thức chỉ có nghĩa khi mẫu B khác 0, vì không thể chia cho 0. Tập hợp các giá trị của biến làm cho B ≠ 0 gọi là điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phân thức.
Tử thức A không ảnh hưởng đến ĐKXĐ. Tử có thể bằng 0, khi đó phân thức bằng 0 và vẫn có nghĩa.
Các bước tìm ĐKXĐ
- Bước 1: Xác định mẫu thức B (giữ nguyên mẫu ban đầu, chưa rút gọn).
- Bước 2: Viết điều kiện B ≠ 0.
- Bước 3: Nếu B là nhị thức bậc nhất, giải trực tiếp. Nếu B là đa thức bậc cao, phân tích thành nhân tử rồi cho từng nhân tử khác 0.
- Bước 4: Kết luận: “ĐKXĐ: x ≠ …”.
Ví dụ có lời giải
Các ví dụ dưới đây do chúng tôi tự đặt để minh hoạ từng dạng mẫu thức.
Ví dụ 1: mẫu là nhị thức bậc nhất
Tìm ĐKXĐ của 3/(2x + 5).
Phân thức xác định khi 2x + 5 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ −5 ⇔ x ≠ −5/2. Vậy ĐKXĐ: x ≠ −5/2.
Ví dụ 2: biến nằm cả ở tử và mẫu
Tìm ĐKXĐ của (3 − 2x)/(5 − x).
Chỉ xét mẫu: 5 − x ≠ 0 ⇔ x ≠ 5. Tử 3 − 2x không tham gia vào điều kiện, dù nó bằng 0 khi x = 3/2.
Ví dụ 3: mẫu là hiệu hai bình phương
Tìm ĐKXĐ của x/(x² − 4).
Ta có x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Mẫu khác 0 khi x − 2 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0, tức là x ≠ 2 và x ≠ −2.
Ví dụ 4: mẫu là tích
Tìm ĐKXĐ của 5/(x(x − 3)).
Tích khác 0 khi cả hai thừa số cùng khác 0: x ≠ 0 và x ≠ 3.
Ví dụ 5: mẫu là tam thức bậc hai
Tìm ĐKXĐ của 2x/(x² − 3x + 2).
Phân tích x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Vậy ĐKXĐ: x ≠ 1 và x ≠ 2.
Ví dụ 6: mẫu luôn khác 0
Tìm ĐKXĐ của 1/(x² + 1).
Vì x² ≥ 0 nên x² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x. Phân thức xác định với mọi số thực x, không cần đặt điều kiện.
Lỗi sai thường gặp
- Rút gọn rồi mới tìm ĐKXĐ. Ví dụ (x + 1)/(x² + 2x + 1) = 1/(x + 1) sau khi rút gọn, nhưng ĐKXĐ phải xét trên mẫu gốc: (x + 1)² ≠ 0 ⇔ x ≠ −1. Với phân thức (x² − 1)/(x − 1), ĐKXĐ vẫn là x ≠ 1 dù sau rút gọn thành x + 1.
- Chỉ loại một nghiệm khi mẫu có nhiều nhân tử. Mẫu (x − 1)(x − 2) phải loại cả x = 1 và x = 2.
- Dùng chữ “hoặc” sai chỗ. Viết “x ≠ 1 hoặc x ≠ 2” là sai, vì điều kiện luôn đúng với mọi x. Phải viết “x ≠ 1 và x ≠ 2″.
- Quên đổi dấu khi chuyển vế. Từ 2x + 5 ≠ 0 phải suy ra x ≠ −5/2, không phải x ≠ 5/2.
Mẹo nhớ
Em chỉ cần nhớ câu: “Mẫu khác 0, tử mặc kệ”. Nếu mẫu là tích thì “mỗi thừa số đều khác 0”. Nếu mẫu là tổng của một bình phương và một số dương thì luôn xác định.
Bài luyện tập (có đáp án)
Viết ĐKXĐ của các phân thức sau (đề do chúng tôi tự đặt):
- 7/(3x − 6)
- (x − 1)/(x² − 9)
- 2/(x² + x + 1)
Đáp án:
- 3x − 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.
- x² − 9 = (x − 3)(x + 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 và x ≠ −3.
- x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 > 0 với mọi x, nên phân thức xác định với mọi x.
Câu hỏi thường gặp
Điều kiện xác định của phân thức là gì?
Là điều kiện của biến để mẫu thức khác 0. Khi đó phân thức mới có nghĩa, vì phép chia cho 0 không thực hiện được.
Điều kiện xác định của 3/(2x + 5) là gì?
Cần 2x + 5 ≠ 0, suy ra x ≠ −5/2.
Có cần rút gọn phân thức trước khi tìm ĐKXĐ không?
Không. Phải tìm ĐKXĐ trên mẫu thức ban đầu, vì rút gọn có thể làm mất các giá trị bị loại.
Khi nào phân thức xác định với mọi x?
Khi mẫu thức luôn khác 0 với mọi x, ví dụ mẫu x² + 1 hoặc x² + x + 1, vì các biểu thức này luôn dương.