Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: cách tính và bài tập

1. Định nghĩa và hai tính chất cần nhớ

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Với hai đường thẳng như vậy luôn tồn tại duy nhất một đường thẳng cắt cả hai và vuông góc với cả hai, gọi là đường vuông góc chung. Đoạn MN nằm giữa hai giao điểm chính là đoạn vuông góc chung.

Định nghĩa: d(a, b) = MN, với M ∈ a, N ∈ b, MN ⊥ a và MN ⊥ b.

Đoạn vuông góc chung cũng là đoạn ngắn nhất nối một điểm bất kì của a với một điểm bất kì của b. Đây là lí do ta gọi nó là “khoảng cách”.

• Tính chất 1: d(a, b) bằng khoảng cách giữa a và mặt phẳng (P) chứa b, song song với a: d(a, b) = d(a, (P)) = d(M, (P)) với M tuỳ ý trên a.
• Tính chất 2: d(a, b) bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) ⊃ b và (Q) ⊃ a: d(a, b) = d((P), (Q)).

2. Các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1: Dựng trực tiếp đoạn vuông góc chung

Trường hợp a ⊥ b (vừa chéo nhau vừa vuông góc):

1. Chọn mặt phẳng (α) chứa b và vuông góc với a tại I.
2. Trong (α), kẻ IJ ⊥ b (J ∈ b). Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung, d(a, b) = IJ.

Trường hợp a, b chéo nhau nhưng không vuông góc:

1. Dựng mặt phẳng (α) chứa b và song song với a.
2. Lấy M ∈ a, kẻ MN ⊥ (α) (N ∈ (α)). Hình chiếu của a lên (α) là đường thẳng a’ qua N, song song với a.
3. Gọi H = a’ ∩ b. Từ H kẻ HK song song với MN, cắt a tại K. Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(a, b) = HK = MN.

Cách này chính xác nhưng dựng hình khá dài, nên chỉ dùng khi đề cho sẵn quan hệ vuông góc đẹp.

Cách 2: Đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Đây là cách “ăn điểm” nhất ở dạng tự luận và trắc nghiệm:

1. Tìm mặt phẳng (P) chứa b và song song với a (thường là một mặt của hình chóp/lăng trụ, hoặc mặt phẳng tạo bởi b và đường thẳng qua một điểm của b song song với a).
2. Chọn điểm M ∈ a sao cho tính khoảng cách đến (P) dễ nhất.
3. Tính d(M, (P)). Nếu đoạn nối M với (P) bị cắt bởi đường thẳng khác, đổi điểm qua tỉ số khoảng cách: nếu MI cắt (P) tại J thì d(M, (P)) / d(I, (P)) = MJ / IJ.

Để tính khoảng cách điểm – mặt phẳng, hay dùng hệ thức trong tam giác vuông: 1/h² = 1/p² + 1/q² (h là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông, p và q là hai cạnh góc vuông). Xem thêm cách làm tương tự ở bài khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

Cách 3: Dựng hai mặt phẳng song song

Dựng (P) ⊃ b và (Q) ⊃ a với (P) // (Q). Khoảng cách cần tìm là d((P), (Q)), bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của (Q) đến (P). Cách này hợp với lăng trụ, hình hộp, hình lập phương.

Cách 4: Phương pháp vectơ – tọa độ

Chọn hệ trục Oxyz thích hợp. Giả sử a đi qua A có vectơ chỉ phương u, b đi qua B có vectơ chỉ phương v. Khi đó:

d(a, b) = |[u, v] · AB| / |[u, v]|

trong đó [u, v] là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương, dấu “·” là tích vô hướng. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi [u, v] · AB ≠ 0.

Cách khác (không cần tích có hướng): gọi M ∈ a, N ∈ b với AM = x·u, BN = y·v. Giải hệ MN · u = 0, MN · v = 0 để tìm x, y rồi tính độ dài MN.

Dấu hiệu trong đề	Nên chọn
Có sẵn đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc nhau	Cách 1 (dựng đoạn vuông góc chung)
Một đường song song với một cạnh nằm trong mặt phẳng chứa đường kia	Cách 2 (điểm – mặt phẳng)
Lăng trụ, hình hộp, hình lập phương	Cách 3 hoặc Cách 4
Hình có ba cạnh đôi một vuông góc, hoặc dễ gắn hệ trục	Cách 4 (tọa độ)

3. Ví dụ minh hoạ có lời giải

Ví dụ 1 – Tứ diện đều

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tam giác ACD đều nên NA = a√3/2; tương tự NB = a√3/2. Tam giác NAB cân tại N nên NM ⊥ AB. Chứng minh tương tự (tam giác MCD cân tại M) được MN ⊥ CD. Vậy MN là đoạn vuông góc chung.

Tam giác NMA vuông tại M có AM = a/2: MN² = NA² − AM² = 3a²/4 − a²/4 = a²/2. Suy ra d(AB, CD) = a√2/2.

Ví dụ 2 – Đáy hình thoi, chóp có SO vuông góc đáy

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD = 60°, SO = 3a/4, SA = SC, SB = SD. Tính d(SA, BD).

Do SA = SC và SB = SD nên SO ⊥ AC, SO ⊥ BD, tức SO ⊥ (ABCD). Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nên BD ⊥ (SAC). Trong (SAC) kẻ OH ⊥ SA. Khi đó OH ⊥ BD (vì BD ⊥ (SAC)), nên OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD.

Tam giác ABD cân có góc A = 60° nên đều, OA = a√3/2. Tam giác SOA vuông tại O, đường cao OH:

1/OH² = 1/SO² + 1/OA² = 16/(9a²) + 4/(3a²) = 28/(9a²) ⇒ OH = 3a/(2√7) = 3a√7/14.

Ví dụ 3 – Chóp có đáy hình chữ nhật

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật với AC = a√5, BC = a√2, SA ⊥ (ABCD). Tính d(SD, BC).

Ta có DC ⊥ BC (hình chữ nhật). Mặt khác DC ⊥ AD và DC ⊥ SA nên DC ⊥ (SAD), suy ra DC ⊥ SD. Vậy DC vuông góc với cả SD và BC, và cắt cả hai đường: DC là đoạn vuông góc chung. Tam giác ABC vuông tại B: AB = √(5a² − 2a²) = a√3, nên d(SD, BC) = DC = AB = a√3.

Ví dụ 4 – Vuông góc nên dựng đường cao

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính d(SC, BD).

Gọi O = AC ∩ BD. BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC). Trong (SAC) kẻ OH ⊥ SC, thì OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.

AC = a√2, SC = √(a² + 2a²) = a√3. Tam giác OHC đồng dạng tam giác SAC (chung góc C, cùng có một góc vuông) nên OH = OC · sin∠SCA = (a√2/2) · (SA/SC) = (a√2/2) · (1/√3) = a√6/6.

Ví dụ 5 – Đưa về khoảng cách điểm – mặt phẳng

Cùng hình chóp ở ví dụ 4. Tính d(SB, CD).

CD // AB mà AB ⊂ (SAB) nên CD // (SAB). Do đó d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB)). Vì DA ⊥ AB và DA ⊥ SA nên DA ⊥ (SAB), suy ra d(D, (SAB)) = DA. Vậy d(SB, CD) = a.

Mẹo: khi thấy một cạnh đáy vuông góc với hai đường cắt nhau của một mặt bên, khoảng cách thường chính là độ dài cạnh đó.

Ví dụ 6 – Dùng tọa độ cho hình lập phương

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính d(AB’, BC’).

Gắn hệ trục với A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a). Khi đó B'(a;0;a), C'(a;a;a). Chọn vectơ chỉ phương u = (1;0;1) cho AB’ và v = (0;1;1) cho BC’.

[u, v] = (0·1 − 1·1; 1·0 − 1·1; 1·1 − 0·0) = (−1; −1; 1), |[u, v]| = √3. Vectơ AB = (a;0;0) nên [u, v] · AB = −a.

d = |−a| / √3 = a√3/3.

Ví dụ 7 – Tọa độ cho hình chóp có ba cạnh vuông góc

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = a, SA = 2a. Tính d(SB, AC).

Chọn B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), S(a;0;2a). SB có vectơ chỉ phương (1;0;2); AC có vectơ chỉ phương (−1;1;0).

Tích có hướng: (0·0 − 2·1; 2·(−1) − 1·0; 1·1 − 0·(−1)) = (−2; −2; 1), độ dài 3. Lấy điểm B trên SB và A trên AC: BA = (a;0;0), tích vô hướng với (−2;−2;1) bằng −2a. Vậy d = 2a/3.

4. Lỗi sai thường gặp

• Nhầm với khoảng cách giữa hai đường thẳng song song hay cắt nhau. Chỉ hai đường chéo nhau mới có đường vuông góc chung duy nhất; hai đường cắt nhau có khoảng cách bằng 0.
• Chọn mặt phẳng không song song. Trước khi viết d(a, b) = d(a, (P)), phải chỉ ra a // (P) (a song song với một đường thẳng nằm trong (P)).
• Chuyển điểm sai tỉ số. Khi dời điểm M sang I trên cùng đường thẳng cắt (P), phải dùng tỉ số MJ/IJ, không được coi hai khoảng cách bằng nhau.
• Quên chứng minh đường vuông góc. Ở bài tự luận, phải nêu rõ OH vuông góc với cả hai đường thẳng trước khi kết luận.
• Tính sai tích có hướng. Viết ra từng thành phần, kiểm tra lại bằng cách nhân vô hướng kết quả với u và v; cả hai phải bằng 0.

Hình minh hoạ cách đưa về mặt phẳng song song

5. Bài tập luyện tập (có đáp án)

1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính d(BD, A’C’).
   
   Đáp án: A’C’ // (ABCD) ⊃ BD nên d = d(A’C’, (ABCD)) = AA’ = a.
2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính d(BD, CD’).
   
   Đáp án: Gắn tọa độ như ví dụ 6: u = (−1;1;0), v = (−1;0;1), [u, v] = (1;1;1); BC = (0;a;0) nên tích vô hướng bằng a, d = a√3/3.
3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính d(SB, AD).
   
   Đáp án: AD // BC nên AD // (SBC); d = d(A, (SBC)). Vì BC ⊥ (SAB), kẻ AH ⊥ SB thì AH ⊥ (SBC). 1/AH² = 1/a² + 1/a² = 2/a², suy ra AH = a√2/2.

Để làm tốt dạng này cần vững các kiến thức nền: hai đường thẳng vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và công thức thể tích hình chóp (thường đi kèm khi bài cho khoảng cách để tìm chiều cao).

Câu hỏi thường gặp

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là gì?

Là độ dài đoạn vuông góc chung MN của hai đường thẳng, với M thuộc đường thẳng này, N thuộc đường thẳng kia và MN vuông góc với cả hai. Đó cũng là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì trên hai đường.

Cách nhanh nhất để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là gì?

Thường là đưa về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: tìm mặt phẳng chứa một đường và song song với đường kia, rồi tính khoảng cách từ một điểm của đường còn lại đến mặt phẳng đó. Nếu hình dễ gắn hệ trục, dùng công thức tọa độ.

Công thức tọa độ tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là gì?

Với đường a qua A có vectơ chỉ phương u và đường b qua B có vectơ chỉ phương v: d(a, b) = |[u, v] · AB| / |[u, v]|, trong đó [u, v] là tích có hướng của u và v.

Làm sao biết hai đường thẳng là chéo nhau trong hệ tọa độ?

Hai đường thẳng chéo nhau khi các vectơ chỉ phương không cùng phương và tích hỗn tạp [u, v] · AB khác 0, tức là chúng không đồng phẳng.

Bài học liên quan

• Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp trực tiếp
• Đạo hàm của hàm số y = cos x trên khoảng (−∞; +∞)
• Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1, u(n+1) = un + n: số hạng u4 là
• Tính đạo hàm của hàm số y = log x: công thức và ví dụ
• Kiểm tra sản phẩm của một nhà máy, trung bình cứ 100 sản phẩm có phế phẩm: cách giải
• Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định: cách làm và ví dụ