Đạo hàm logx: công thức, chứng minh và ví dụ

Trả lời nhanh

Với y = log x (lôgarit cơ số 10), đạo hàm là y’ = 1/(x·ln10) trên khoảng x > 0. Nguyên nhân: log x = ln x / ln10, mà (ln x)’ = 1/x nên đạo hàm chỉ chia thêm cho hằng số ln10 ≈ 2,3026. Nếu đề viết ln x thì đạo hàm là 1/x, không có ln10.

Công thức cần nhớ

Hàm số	Đạo hàm	Điều kiện
y = ln x	y’ = 1/x	x > 0
y = log x = log₁₀ x	y’ = 1/(x·ln10)	x > 0
y = log_a x	y’ = 1/(x·ln a)	x > 0, 0 < a ≠ 1
y = log_a u(x)	y’ = u’/(u·ln a)	u(x) > 0
y = log\|x\|	y’ = 1/(x·ln10)	x ≠ 0

Lưu ý: một số tài liệu dùng “log” để chỉ lôgarit tự nhiên. Trong chương trình phổ thông Việt Nam, log x mặc định là cơ số 10, còn lôgarit tự nhiên viết là ln x. Hãy đọc kỹ quy ước của đề.

Chứng minh (log x)’ = 1/(x·ln10)

Cách 1 – đổi cơ số. Ta có log x = ln x / ln10. Vì 1/ln10 là hằng số nên (log x)’ = (1/ln10)·(ln x)’ = 1/(x·ln10).

Cách 2 – hàm ngược. Từ y = log x suy ra x = 10^y. Lấy đạo hàm hai vế theo y: x’_y = 10^y·ln10 = x·ln10. Do đó y’_x = 1/x’_y = 1/(x·ln10).

Về giá trị gần đúng, 1/ln10 ≈ 0,4343. Vậy (log x)’ ≈ 0,4343/x. Đây là lý do đồ thị y = log x tăng nhưng càng lúc càng “thoải” khi x lớn.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tính đạo hàm y = log(2x + 1).

Đặt u = 2x + 1 thì u’ = 2. Vậy y’ = 2/((2x + 1)·ln10), với x > −1/2.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm y = x·log x.

Dùng quy tắc tích: y’ = 1·log x + x·1/(x·ln10) = log x + 1/ln10.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm y = log(x² + 1).

Vì x² + 1 > 0 với mọi x nên hàm xác định trên ℝ. Ta có y’ = 2x/((x² + 1)·ln10).

Ví dụ 4. Viết hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị y = log x tại x = 10.

y'(10) = 1/(10·ln10) ≈ 0,0434. Đây chỉ là giá trị làm tròn để hình dung độ dốc rất nhỏ tại x = 10.

Lỗi sai thường gặp

Quên ln10: viết (log x)’ = 1/x là nhầm với ln x.
Quên đạo hàm của hàm trong: (log u)’ = u’/(u·ln10), không phải 1/(u·ln10).
Bỏ điều kiện xác định: log x chỉ có nghĩa khi x > 0 (hoặc u(x) > 0 với hàm hợp).
Nhầm ln10 với 10: ln10 là hằng số xấp xỉ 2,3026, không phải 10.

Mẹo nhớ: “đạo hàm lôgarit = 1 trên x nhân ln cơ số”. Cơ số e thì ln e = 1 nên mất thừa số này.

Bài luyện tập

Tính đạo hàm y = log(3x).
Tính đạo hàm y = x²·log x.
Tính đạo hàm y = log₂(x² − 3x).
Tính đạo hàm y = (log x)/x.

Đáp án.

y’ = 3/(3x·ln10) = 1/(x·ln10). Vì log(3x) = log 3 + log x nên kết quả trùng với (log x)’.
y’ = 2x·log x + x²·1/(x·ln10) = 2x·log x + x/ln10.
y’ = (2x − 3)/((x² − 3x)·ln2), với x < 0 hoặc x > 3.
y’ = [1/(x·ln10)·x − log x]/x² = (1/ln10 − log x)/x².

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm của log x bằng bao nhiêu?

Với log x là lôgarit cơ số 10, (log x)' = 1/(x·ln10) trên khoảng x > 0.

Đạo hàm của ln x và log x khác nhau thế nào?

(ln x)' = 1/x, còn (log x)' = 1/(x·ln10). Hai kết quả chỉ khác nhau thừa số hằng 1/ln10 ≈ 0,4343.

Đạo hàm của log(u(x)) tính thế nào?

Dùng quy tắc đạo hàm hàm hợp: (log u)' = u'/(u·ln10), với điều kiện u(x) > 0.

Đạo hàm của log_a x là gì?

(log_a x)' = 1/(x·ln a) với x > 0 và 0 < a ≠ 1. Khi a = 10 ta được công thức của log x.