Trả lời nhanh
Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc ℝ, tức là trên cả khoảng (−∞; +∞), và y’ = (cos x)’ = −sin x. Với hàm hợp, (cos u)’ = −u’·sin u. Chú ý dấu trừ: đạo hàm của cos là −sin, còn đạo hàm của sin mới là +cos.
Đề bài và kết quả
Câu hỏi thường gặp: “Tính đạo hàm của hàm số y = cos x trên khoảng (−∞; +∞)”. Đáp số:
y’ = (cos x)’ = −sin x, với mọi x ∈ ℝ.
Vì cos x xác định trên toàn bộ ℝ và giới hạn định nghĩa đạo hàm tồn tại ở mọi điểm, nên không cần loại điểm nào ra khỏi khoảng.
Chứng minh bằng định nghĩa
Lấy x₀ bất kì thuộc ℝ, cho số gia h ≠ 0. Ta có:
- Δy = cos(x₀ + h) − cos x₀ = −2·sin(x₀ + h/2)·sin(h/2) (công thức biến đổi hiệu hai cos thành tích).
- Chia cho h: Δy/h = −sin(x₀ + h/2) · sin(h/2)/(h/2).
- Cho h → 0: sin(x₀ + h/2) → sin x₀ (do hàm sin liên tục) và sin(h/2)/(h/2) → 1 (giới hạn cơ bản lim sin t / t = 1 khi t → 0, t tính bằng radian).
- Vậy y'(x₀) = −sin x₀. Vì x₀ tuỳ ý nên (cos x)’ = −sin x trên ℝ.
Mẹo nhớ: nhìn đồ thị cos x tại x = 0, đồ thị đang ở đỉnh (giá trị lớn nhất) nên tiếp tuyến nằm ngang, hệ số góc bằng 0; và −sin 0 = 0 đúng như vậy. Ngay sau đó, đồ thị đi xuống nên đạo hàm âm, khớp với −sin x < 0 khi x ∈ (0; π).
Bảng công thức đạo hàm liên quan
| Hàm số | Đạo hàm | Ghi chú |
|---|---|---|
| y = cos x | y’ = −sin x | x ∈ ℝ |
| y = cos u(x) | y’ = −u’·sin u | hàm hợp |
| y = sin x | y’ = cos x | x ∈ ℝ |
| y = cos(ax + b) | y’ = −a·sin(ax + b) | trường hợp riêng của hàm hợp |
| y = cosⁿx | y’ = −n·cosⁿ⁻¹x·sin x | n nguyên dương |
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. y = cos 3x. Đặt u = 3x, u’ = 3 nên y’ = −3 sin 3x.
Ví dụ 2. y = cos(x² + 1). Có u = x² + 1, u’ = 2x nên y’ = −2x·sin(x² + 1).
Ví dụ 3. y = cos³x. Xem là u³ với u = cos x: y’ = 3cos²x·(cos x)’ = −3cos²x·sin x.
Ví dụ 4. y = cos(π/2 − x). Theo công thức hợp, y’ = −(−1)·sin(π/2 − x) = sin(π/2 − x) = cos x. Kiểm tra: cos(π/2 − x) = sin x, mà (sin x)’ = cos x, hai cách cho cùng kết quả.
Ví dụ 5 (tiếp tuyến). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = cos x tại điểm có hoành độ x₀ = π/3.
- y₀ = cos(π/3) = 1/2.
- Hệ số góc k = y'(π/3) = −sin(π/3) = −√3/2.
- Tiếp tuyến: y = −(√3/2)(x − π/3) + 1/2.
Đạo hàm cấp cao của cos x
Lấy đạo hàm liên tiếp ta được chu kì 4:
- (cos x)’ = −sin x
- (cos x)” = −cos x
- (cos x)”’ = sin x
- (cos x)⁽⁴⁾ = cos x
Gộp lại: (cos x)⁽ⁿ⁾ = cos(x + nπ/2). Để tính đạo hàm cấp lớn, chỉ cần lấy n chia 4 rồi xét số dư.
Lỗi sai thường gặp
- Quên dấu trừ: viết (cos x)’ = sin x. Hãy nhớ “co- thì có dấu trừ”: cos → −sin.
- Quên nhân u’: (cos 3x)’ = −sin 3x là sai, phải có thừa số 3.
- Nhầm đơn vị: công thức (cos x)’ = −sin x chỉ đúng khi x tính bằng radian. Nếu x tính bằng độ, kết quả có thêm thừa số π/180.
- Nhầm cos²x với cos x²: (cos²x)’ = −2 sin x cos x = −sin 2x, còn (cos x²)’ = −2x sin x².
Bài luyện tập
- Tính đạo hàm của y = cos 5x.
- Tính đạo hàm của y = x·cos x.
- Tính đạo hàm của y = cos²(3x) và rút gọn.
Đáp án.
- y’ = −5 sin 5x.
- y’ = cos x + x·(−sin x) = cos x − x sin x.
- y’ = 2cos 3x·(−3 sin 3x) = −6 sin 3x cos 3x = −3 sin 6x.
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm của cos x bằng bao nhiêu?
Đạo hàm của cos x là −sin x, đúng với mọi x thuộc ℝ (x tính bằng radian).
Đạo hàm của cos(2x + 1) là gì?
Áp dụng (cos u)' = −u'·sin u với u = 2x + 1, u' = 2, ta được y' = −2 sin(2x + 1).
Vì sao đạo hàm của cos x có dấu trừ?
Vì ngay sau điểm cực đại x = 0, đồ thị cos x đi xuống nên hệ số góc tiếp tuyến âm. Điều này khớp với −sin x < 0 khi x thuộc (0; π).
Đạo hàm cấp hai của cos x là gì?
(cos x)'' = (−sin x)' = −cos x. Tổng quát (cos x)⁽ⁿ⁾ = cos(x + nπ/2).