Giải Toán 7 Bài 16 Kết nối tri thức: Tam giác cân. Đường trung trực

1. Tóm tắt kiến thức cần nhớ

Tam giác cân

• Định nghĩa: tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh đó là cạnh bên, cạnh còn lại là cạnh đáy. Góc xen giữa hai cạnh bên là góc ở đỉnh, hai góc kề cạnh đáy là góc ở đáy.
• Tính chất: trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
• Dấu hiệu nhận biết: tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân (cân tại đỉnh đối diện với cạnh nằm giữa hai góc đó).
• Trường hợp đặc biệt: tam giác đều (ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau và bằng 60°); tam giác vuông cân (vuông và có hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Đường trung trực của đoạn thẳng

• Định nghĩa: đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
• Tính chất: điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng ấy.

Mẹo nhớ: “trung trực” = “trung điểm” + “vuông góc”. Thiếu một trong hai điều kiện thì chưa phải đường trung trực. Nhiều bạn mất điểm vì chỉ chứng minh được vuông góc mà quên chứng minh qua trung điểm.

2. Giải phần Tam giác cân và tính chất (trang 80–81)

Câu hỏi trang 80: Tìm các tam giác cân trong Hình 4.59

Hình này cần quan sát các đoạn có kí hiệu bằng nhau. Cách làm: với mỗi tam giác, tìm hai cạnh có cùng kí hiệu (hoặc cùng độ dài ghi trên hình). Tam giác nào có cặp cạnh như vậy thì cân tại đỉnh chung của hai cạnh ấy. Sau đó gọi tên theo bốn ý:

• cạnh bên: hai cạnh bằng nhau;
• cạnh đáy: cạnh còn lại;
• góc ở đỉnh: góc nằm giữa hai cạnh bên;
• góc ở đáy: hai góc có đỉnh là hai đầu của cạnh đáy.

Ví dụ tự đặt: tam giác PQR có PQ = PR thì cân tại P; cạnh bên PQ, PR; cạnh đáy QR; góc ở đỉnh là góc P; góc ở đáy là góc Q và góc R. Lời giải đầy đủ theo hình: xem Giải Toán 7 trang 80 tại Câu hỏi trang 80.

HĐ1 trang 81: Hai góc ở đáy của tam giác cân

Tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC.

a) Xét hai tam giác ABD và ACD: AB = AC (giả thiết), BD = CD (D là trung điểm BC), AD là cạnh chung. Vậy ΔABD = ΔACD (c.c.c).

b) Hai tam giác bằng nhau nên các góc tương ứng bằng nhau: góc B = góc C. Đây chính là chứng minh tính chất “hai góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau”.

Chi tiết: HĐ1 trang 81.

HĐ2 trang 81: Tam giác có hai góc bằng nhau

Cho tam giác MNP có góc M = góc N, PK là tia phân giác của góc MPN (K thuộc MN).

a) Trong ΔMPK: góc MKP = 180° − góc M − góc MPK. Trong ΔNPK: góc NKP = 180° − góc N − góc NPK. Vì góc M = góc N và góc MPK = góc NPK (PK là phân giác) nên góc MKP = góc NKP.

b) Hai tam giác MPK và NPK có: góc M = góc N (giả thiết), góc MKP = góc NKP (câu a), PK chung. Suy ra ΔMPK = ΔNPK (g.c.g).

c) Từ hai tam giác bằng nhau, MP = NP (hai cạnh tương ứng). Vậy tam giác MNP cân tại P.

Lưu ý: ở câu b, cặp góc “kẹp” cạnh PK phải là góc MPK và góc NPK, hoặc dùng cạnh PK kèm hai góc kề. Tuỳ cách chọn bộ ba yếu tố, bạn cần ghi đúng góc nào kề cạnh nào. Xem thêm HĐ2 trang 81.

Luyện tập 1 trang 81: Hình 4.62

Từ hình: tam giác DEF có DF = FE = 4 cm và góc D = 60°.

1. DF = FE nên ΔDEF cân tại F.
2. Hai góc ở đáy bằng nhau: góc E = góc D = 60°.
3. Tổng ba góc: góc F = 180° − 60° − 60° = 60°.
4. Ba góc đều bằng 60° nên tam giác DEF là tam giác đều, do đó DE = 4 cm.

Kết quả: góc E = góc F = 60°, DE = 4 cm. Xem Luyện tập 1.

Thử thách nhỏ trang 81

• a) Tam giác có ba góc bằng nhau: mỗi góc bằng 180° : 3 = 60°, và hai góc bằng nhau nào cũng cho hai cạnh đối diện bằng nhau, nên ba cạnh bằng nhau. Đó là tam giác đều.
• b) Tam giác cân có một góc 60° cũng là tam giác đều. Xét hai khả năng: nếu 60° là góc ở đỉnh, hai góc đáy bằng (180° − 60°) : 2 = 60°; nếu 60° là góc ở đáy, góc đáy còn lại cũng 60° và góc ở đỉnh là 180° − 120° = 60°. Cả hai trường hợp đều ra ba góc 60°.

Chi tiết: Thử thách nhỏ trang 81.

3. Giải phần Đường trung trực (trang 81–83)

HĐ3 trang 81: Gấp giấy tạo nếp gấp d

Khi gấp tờ giấy sao cho A trùng B, nếp gấp d chia đoạn AB thành hai phần chồng khít lên nhau.

• a) Phần AO trùng với phần BO nên OA = OB: O là trung điểm của AB.
• b) Hai góc AOd ở hai bên nếp gấp trùng nhau và kề bù, nên mỗi góc bằng 90°. Dùng thước đo góc kiểm tra cũng được d vuông góc với AB.

Nếp gấp d chính là đường trung trực của AB. Xem HĐ3 trang 81.

Câu hỏi trang 82: Hình 4.64 – bạn Lan vẽ đúng hình nào?

Hình được coi là đúng khi đường thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện: vuông góc với đoạn thẳng (có kí hiệu góc vuông hoặc đo được 90°) và đi qua trung điểm (hai phần đoạn thẳng có kí hiệu bằng nhau). Hình chỉ thoả một điều kiện là hình sai. Đối chiếu từng hình theo hai tiêu chí này rồi đọc đáp án ở Câu hỏi trang 82.

HĐ4 trang 82: Điểm M bất kì trên d

Lấy M trên nếp gấp d. Khi gấp lại, A trùng B nên đoạn MA trùng đoạn MB. Dùng thước đo sẽ thấy MA = MB. Vì sao đúng với mọi M? Vì phép gấp luôn làm hai nửa tờ giấy chồng khít lên nhau, nên mọi điểm trên nếp gấp đều cách đều A và B.

Kết luận: điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu đoạn thẳng. Xem HĐ4 trang 82.

Luyện tập 2 trang 83

M nằm trên đường trung trực của AB, AM = 3 cm, góc MAB = 60°.

1. M thuộc trung trực của AB nên MB = MA = 3 cm.
2. Tam giác MAB có MA = MB nên cân tại M, suy ra góc MBA = góc MAB = 60°.
3. Góc AMB = 180° − 60° − 60° = 60°, vậy tam giác MAB đều.

Kết quả: BM = 3 cm, góc MBA = 60°. Xem Luyện tập 2.

4. Giải bài tập cuối bài (trang 84)

Bài 4.23

Đề: tam giác ABC cân tại A, E thuộc AC, F thuộc AB sao cho BE ⊥ AC, CF ⊥ AB. Cần chứng minh tam giác AEF cân (tức AE = AF).

Xét hai tam giác vuông ABE và ACF: góc AEB = góc AFC = 90°; AB = AC; góc A chung. Do đó ΔABE = ΔACF (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra AE = AF, vậy tam giác AEF cân tại A. Ngoài ra BE = CF.

Lời giải chi tiết: Bài 4.23.

Bài 4.24

Tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Chứng minh AM ⊥ BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

1. ΔABM và ΔACM có AB = AC, BM = CM, AM chung nên ΔABM = ΔACM (c.c.c).
2. Suy ra góc BAM = góc CAM, tức AM là tia phân giác của góc BAC.
3. Cũng suy ra góc AMB = góc AMC. Hai góc này kề bù nên tổng 180°, mỗi góc bằng 90°. Vậy AM ⊥ BC.

Xem Bài 4.24. Kết quả này cho thấy trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường cao và đường phân giác.

Bài 4.25

Bài cho tam giác ABC và M là trung điểm BC, yêu cầu chứng minh tam giác cân. Với giả thiết AM ⊥ BC:

1. Xét ΔAMB và ΔAMC: AM chung; góc AMB = góc AMC = 90°; MB = MC.
2. Vậy ΔAMB = ΔAMC (c.g.c), suy ra AB = AC.
3. Do đó tam giác ABC cân tại A.

Nói cách khác, đường thẳng AM chính là đường trung trực của BC, nên A cách đều B và C. Bạn nên đọc kỹ đề ở Bài 4.25 để chọn đúng giả thiết cần dùng.

Bài 4.26: Tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. Hai khẳng định thường gặp:

• Mỗi góc nhọn bằng 45°: tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau, tổng hai góc nhọn là 90°, nên mỗi góc nhọn là 90° : 2 = 45°.
• Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° thì cân: góc nhọn còn lại là 90° − 45° = 45°, hai góc bằng nhau nên tam giác cân (tại đỉnh góc vuông).

Xem Bài 4.26 để đối chiếu cách trình bày.

Bài 4.27: Hình 4.70, đường nào là trung trực của AB?

Kiểm tra từng đường thẳng bằng hai tiêu chí: có vuông góc với AB không, có đi qua trung điểm AB không. Đường chỉ vuông góc nhưng cắt AB lệch khỏi trung điểm là sai; đường qua trung điểm nhưng xiên cũng sai. Đáp án theo hình: Bài 4.27.

Bài 4.28

Tam giác ABC cân tại A, AD là đường cao (D thuộc BC). Chứng minh AD là đường trung trực của BC.

1. Hai tam giác vuông ABD và ACD có AB = AC và AD chung.
2. Vậy ΔABD = ΔACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra BD = CD, tức D là trung điểm BC.
3. AD ⊥ BC tại trung điểm D nên AD là đường trung trực của BC.

Xem Bài 4.28.

5. Lỗi sai thường gặp

• Viết “tam giác ABC cân” mà không nói rõ cân tại đỉnh nào. Điểm trừ do đỉnh quyết định cạnh bên và góc đáy.
• Nhầm góc ở đáy với góc ở đỉnh khi tính: luôn tìm góc ở đỉnh trước, hai góc đáy bằng nhau.
• Xét một tam giác cân có góc 100° rồi cho là góc đáy. Góc đáy luôn nhọn, vì hai góc đáy bằng nhau mà tổng ba góc là 180°.
• Kết luận “trung trực” chỉ vì vuông góc, không chứng minh qua trung điểm.
• Dùng hình vẽ làm căn cứ (“nhìn thấy bằng nhau”). Cần có giả thiết hoặc chứng minh.

6. Bài luyện tập tự giải

1. Tam giác ABC cân tại A có góc A = 40°. Tính góc B và góc C.
2. Một tam giác cân có một góc bằng 100°. Tính hai góc còn lại.
3. Đoạn AB = 6 cm, điểm M nằm trên đường trung trực của AB và MA = 5 cm. Tính chu vi tam giác MAB.

Đáp án:

1. Góc B = góc C = (180° − 40°) : 2 = 70°.
2. Góc 100° là góc tù nên phải là góc ở đỉnh. Hai góc đáy bằng nhau, mỗi góc (180° − 100°) : 2 = 40°.
3. MB = MA = 5 cm. Chu vi = 5 + 5 + 6 = 16 cm.

7. Tài liệu học cùng bài 16

• Lý thuyết Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng
• Sách bài tập Toán 7 Bài 16
• Vở thực hành Toán 7 Bài 16
• 20 câu trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực
• Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
• Luyện tập chung trang 85
• Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức (cả năm)

Câu hỏi thường gặp

Tam giác cân có những tính chất nào ở Toán 7 bài 16?

Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân tại đỉnh đối diện với cạnh nằm giữa hai góc đó.

Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?

Đó là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mọi điểm nằm trên đường này đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

Tam giác cân có một góc 60° là tam giác gì?

Là tam giác đều. Dù góc 60° là góc ở đỉnh hay góc ở đáy, tính ra ba góc đều bằng 60° nên ba cạnh bằng nhau.

Muốn chứng minh một đường thẳng là trung trực của đoạn thẳng cần làm gì?

Cần chứng minh đường thẳng đó vuông góc với đoạn thẳng và đi qua trung điểm của đoạn thẳng. Thiếu một trong hai điều kiện thì chưa kết luận được.

Bài học liên quan

• Giải SGK Toán 7 Bài 3 Chân trời sáng tạo: Làm tròn số và ước lượng kết quả
• Sách bài tập Toán 7 Cánh diều: Giải SBT Toán 7 Tập 1, Tập 2
• 20 bài tập dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 có đáp án
• Giá trị tuyệt đối của −3 là bao nhiêu? Lý thuyết Toán 7 Cánh diều
• Hai góc trong cùng phía bù nhau: vẽ hình, ghi GT – KL và chứng minh
• Giải SGK Toán 7 Bài 19 (Kết nối tri thức): Biểu đồ đoạn thẳng