Toán 10 bài 10: 25 liên kết vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Lớp 10ToánKết nối tri thức

Giải SGK Toán 10 Bài 10 (Kết nối tri thức): Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Trả lời nhanh

Bài 10 xoay quanh một ý chính: trong mặt phẳng Oxy, vectơ a = x·i + y·j có tọa độ (x; y). Mọi phép toán cộng, trừ, nhân số đều làm trên từng thành phần; vectơ AB có tọa độ (xB − xA; yB − yA) và độ dài |a| = √(x² + y²). Dưới đây là lời giải từng câu từ trang 59 đến 65.

Tóm tắt kiến thức cần nhớ trước khi làm bài

Trên mặt phẳng Oxy, i→ và j→ là hai vectơ đơn vị nằm trên trục Ox, Oy. Mỗi vectơ a→ được viết duy nhất dưới dạng a→ = x·i→ + y·j→, khi đó ta viết a→ = (x; y). Ba việc cần nắm chắc là đọc tọa độ, tính tọa độ theo phép toán và tính độ dài.

Nội dung Công thức
Bằng nhau (x; y) = (x’; y’) ⇔ x = x’ và y = y’
Cộng, trừ a→ ± b→ = (x ± x’; y ± y’)
Nhân với số k k·a→ = (kx; ky)
Độ dài vectơ |a→| = √(x² + y²)
Tọa độ vectơ AB AB→ = (xB − xA; yB − yA)
Độ dài đoạn AB AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)
Cùng phương a→ = k·b→ (b→ ≠ 0→), hay x·y’ − x’·y = 0
Trung điểm M của AB M((xA + xB)/2; (yA + yB)/2)
Trọng tâm G của tam giác ABC G((xA + xB + xC)/3; (yA + yB + yC)/3)

Phần lý thuyết đầy đủ hơn có ở bài tổng hợp sau: Lý thuyết Vectơ trong mặt phẳng tọa độ.

Giải Toán 10 trang 59 – Câu hỏi mở đầu

Câu hỏi mở đầu trang 59: tâm bão đi thẳng đều trong 12 giờ từ A(13,8; 108,3) đến B(14,1; 106,3). Có dự đoán được vị trí tâm bão ở thời điểm bất kì không?

Lời giải. Có. Vì chuyển động thẳng đều nên sau t giờ (0 ≤ t ≤ 12) tâm bão đi được t/12 quãng đường AB, tức AM→ = (t/12)·AB→.

  • AB→ = (14,1 − 13,8; 106,3 − 108,3) = (0,3; −2).
  • Gọi M(x; y): (x − 13,8; y − 108,3) = (t/12)·(0,3; −2) = (t/40; −t/6).
  • Suy ra x = 13,8 + t/40 và y = 108,3 − t/6.

Vậy tại thời điểm t giờ, tâm bão ở M(13,8 + t/40; 108,3 − t/6). Chú ý dấu của hoành độ là dấu cộng, vì thành phần 0,3 dương.

Giải Toán 10 trang 60 – Tọa độ của vectơ

Giải Toán 10 trang 60 gồm HĐ1.

HĐ1. Trên trục Ox, OA→ = i→ với A biểu diễn số 1. Điểm M biểu diễn số 4 và N biểu diễn số −3/2.

  • OM→ cùng hướng với i→ và |OM→| = 4 = 4|i→| nên OM→ = 4i→.
  • ON→ ngược hướng với i→ và |ON→| = 3/2 = (3/2)|i→| nên ON→ = −(3/2)i→.

Mẹo nhớ: điểm biểu diễn số k trên trục thì vectơ từ gốc O tới điểm đó bằng k·i→; dấu của k cho biết hướng.

Giải Toán 10 trang 61

Trang 61 có HĐ2, Luyện tập 1 và HĐ3.

HĐ2. Dựng hình bình hành OAMB và OCND như hình vẽ. Từ hình ta đọc được OA→ = 3i→, OB→ = 5j→, OC→ = −2i→, OD→ = (5/2)j→.

  • a) Theo quy tắc hình bình hành: OM→ = OA→ + OB→ = 3i→ + 5j→; ON→ = OC→ + OD→ = −2i→ + (5/2)j→.
  • b) Quy tắc hiệu: MN→ = ON→ − OM→ = (−2 − 3)i→ + (5/2 − 5)j→ = −5i→ − (5/2)j→.

Nhận xét: tọa độ của MN→ là (−5; −5/2) đúng bằng tọa độ N trừ tọa độ M, (−2 − 3; 5/2 − 5). Đây chính là điều HĐ5 sẽ tổng quát hóa.

Luyện tập 1. Vì 0→ = 0·i→ + 0·j→ nên 0→ có tọa độ (0; 0).

HĐ3. Cho u→ = (2; −3), v→ = (4; 1), a→ = (8; −12).

  • a) u→ = 2i→ − 3j→; v→ = 4i→ + j→; a→ = 8i→ − 12j→.
  • b) u→ + v→ = (2 + 4)i→ + (−3 + 1)j→ = 6i→ − 2j→, tọa độ (6; −2). 4u→ = 8i→ − 12j→, tọa độ (8; −12).
  • c) Vì 4u→ = 8i→ − 12j→ = a→ nên a→ = 4u→, hai vectơ cùng phương (cùng hướng, a→ dài gấp 4 lần).

Giải Toán 10 trang 62 – Biểu thức tọa độ

Trang 62 gồm HĐ4 và HĐ5, hai hoạt động dẫn đến công thức độ dài và tọa độ vectơ.

HĐ4. M(x0; y0), P và Q là hình chiếu của M lên Ox và Oy.

Điểm M(x0; y0) trong mặt phẳng Oxy với hình chiếu P trên Ox, Q trên Oy và vectơ OM bằng x0 i cộng y0 j
Hình chiếu của M lên hai trục và biểu thị OM = x0·i + y0·j
  • a) P biểu diễn số x0 trên Ox nên OP→ = x0·i→ và |OP→| = |x0|.
  • b) Q biểu diễn số y0 trên Oy nên OQ→ = y0·j→ và |OQ→| = |y0|.
  • c) OPMQ là hình chữ nhật nên OM→ = OP→ + OQ→ = x0i→ + y0j→, tức M có tọa độ (x0; y0). Tam giác OPM vuông tại P nên |OM→| = √(x0² + y0²).

HĐ5. Với M(x; y), N(x’; y’): OM→ = (x; y), ON→ = (x’; y’). Do MN→ = ON→ − OM→ nên MN→ = (x’ − x; y’ − y), và MN = √((x’ − x)² + (y’ − y)²).

Ghi nhớ: lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu.

Giải Toán 10 trang 63 – Luyện tập 2

Trang 63: Luyện tập 2 cho A(2; 1), B(3; 3), yêu cầu tìm tọa độ AB→ và độ dài AB.

  • AB→ = (3 − 2; 3 − 1) = (1; 2).
  • AB = √(1² + 2²) = √5.

Giải Toán 10 trang 64 – Vận dụng

Trang 64 có bài Vận dụng: tìm tọa độ tâm bão M lúc 9 giờ theo thông tin ở đầu bài.

Thay t = 9 vào kết quả câu hỏi mở đầu: x = 13,8 + 9/40 = 13,8 + 0,225 = 14,025; y = 108,3 − 9/6 = 108,3 − 1,5 = 106,8. Vậy M(14,025; 106,8).

Kiểm tra nhanh: 9 giờ là 3/4 thời gian nên M cách A đúng 3/4 đoạn AB; 3/4·0,3 = 0,225 và 3/4·(−2) = −1,5, khớp kết quả.

Giải bài tập cuối bài trang 65

Xem thêm Giải Toán 10 trang 65. Dưới đây là cách làm từng bài.

Bài 4.16 – M(1; 3), N(4; 2)

Bài 4.16 yêu cầu tính độ dài OM, ON, MN và chứng minh tam giác OMN vuông cân.

Tam giác OMN vuông cân tại M với M(1; 3), N(4; 2) trong mặt phẳng tọa độ
Tam giác OMN của bài 4.16: OM = MN = căn 10, ON = căn 20
  • OM = √(1² + 3²) = √10; ON = √(4² + 2²) = √20; MN = √((4 − 1)² + (2 − 3)²) = √10.
  • OM = MN nên tam giác cân tại M.
  • OM² + MN² = 10 + 10 = 20 = ON² nên theo định lí Pythagore đảo, tam giác vuông tại M.

Vậy OMN vuông cân tại M. Cách nhanh để kiểm tra vuông: đối chiếu bình phương cạnh dài nhất với tổng bình phương hai cạnh còn lại.

Bài 4.17 – a = 3i − 2j, b = (4; −1), M(−3; 6), N(3; −3)

Bài 4.17 là bài tính tọa độ các vectơ từ dữ kiện trên. Bước đầu là đổi a→ về dạng tọa độ: a→ = (3; −2).

  • a→ + b→ = (3 + 4; −2 − 1) = (7; −3).
  • a→ − b→ = (3 − 4; −2 + 1) = (−1; −1).
  • 2a→ = (6; −4).
  • MN→ = (3 − (−3); −3 − 6) = (6; −9).

Xét cùng phương: MN→ = (6; −9) = 3·(2; −3). Với a→ = (3; −2) ta có 3·(−9) − 6·(−2) = −27 + 12 = −15 ≠ 0 nên MN→ và a→ không cùng phương. Với b→ = (4; −1): 4·(−9) − 6·(−1) = −30 ≠ 0 nên cũng không cùng phương. Bạn hãy đối chiếu các yêu cầu cụ thể trong sách rồi dùng các kết quả tính ở trên.

Bài 4.18 – A(1; 3), B(2; 4), C(−3; 2)

Bài 4.18 gồm ba ý: chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác; tìm trọng tâm G; tìm D để ABCD là hình bình hành.

  • Ba đỉnh tam giác: AB→ = (1; 1), AC→ = (−4; −1). Vì 1·(−1) − 1·(−4) = 3 ≠ 0 nên AB→, AC→ không cùng phương, A, B, C không thẳng hàng.
  • Trọng tâm: G((1 + 2 − 3)/3; (3 + 4 + 2)/3) = (0; 3).
  • Điểm D: ABCD là hình bình hành ⇔ AB→ = DC→. Gọi D(x; y): (1; 1) = (−3 − x; 2 − y) ⇒ x = −4, y = 1. Vậy D(−4; 1).

Thử lại: trung điểm AC là (−1; 5/2), trung điểm BD là ((2 − 4)/2; (4 + 1)/2) = (−1; 5/2). Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, đúng.

Bài 4.19 – Tàu thủy chuyển động thẳng đều

Bài 4.19 dùng đúng ý tưởng của câu hỏi mở đầu: tàu xuất phát từ A, chuyển động thẳng đều với vận tốc v→ (đơn vị trên mỗi giờ) thì sau t giờ tàu ở M thỏa AM→ = t·v→.

Công thức: nếu A(xA; yA) và v→ = (a; b) thì M(xA + a·t; yA + b·t). Bạn thay số liệu của đề vào công thức này.

Ví dụ tự đặt để minh họa: tàu xuất phát từ A(1; 2), v→ = (3; 4) mỗi giờ. Sau 1,5 giờ: x = 1 + 3·1,5 = 5,5; y = 2 + 4·1,5 = 8, tàu ở (5,5; 8). Quãng đường mỗi giờ là |v→| = √(9 + 16) = 5 đơn vị.

Bài 4.20 – Quân mã ở vị trí (1; 2)

Bài 4.20: quân mã đi theo hình chữ L, tức dịch chuyển một vectơ có tọa độ dạng (±1; ±2) hoặc (±2; ±1). Cộng 8 vectơ đó vào (1; 2) rồi loại các ô nằm ngoài bàn cờ.

Với giả thiết các ô trên bàn cờ có hoành độ và tung độ từ 1 đến 8 như trong hình:

  • (1 + 1; 2 + 2) = (2; 4) – hợp lệ.
  • (1 + 2; 2 + 1) = (3; 3) – hợp lệ.
  • (1 + 2; 2 − 1) = (3; 1) – hợp lệ.
  • (1 + 1; 2 − 2) = (2; 0), (1 − 1; ·), (1 − 2; ·) – có tung độ 0 hoặc hoành độ nhỏ hơn 1, nằm ngoài bàn cờ.

Vậy quân mã có thể đến (2; 4), (3; 3), (3; 1). Hãy đối chiếu với Hình 4.38 để chắc chắn về cách đánh số ô.

Lỗi sai thường gặp ở bài này

  • Lấy điểm đầu trừ điểm cuối khi tìm tọa độ AB→ (đúng là cuối trừ đầu).
  • Quên bình phương hoặc quên căn khi tính độ dài, ví dụ viết |a→| = x + y.
  • Nhầm tọa độ điểm với tọa độ vectơ: M(x; y) là điểm, nhưng OM→ = (x; y) mới là vectơ; chỉ khi gốc là O hai tọa độ mới trùng nhau.
  • Khi chép lời giải câu hỏi mở đầu, chép sai dấu x = 13,8 + t/40.

Bài luyện tập tự kiểm tra

  1. Cho a→ = (2; −1), b→ = (−3; 4). Tính tọa độ 2a→ − b→ và độ dài |a→ + b→|.
    Đáp án: 2a→ − b→ = (4 + 3; −2 − 4) = (7; −6). a→ + b→ = (−1; 3) nên |a→ + b→| = √10.
  2. Cho A(−1; 2), B(3; 5), C(5; −1). Tìm D để ABCD là hình bình hành và tìm trọng tâm G của tam giác ABC.
    Đáp án: D = A + C − B = (−1 + 5 − 3; 2 − 1 − 5) = (1; −4). G = (7/3; 2).
  3. Tìm m để u→ = (m; 6) và v→ = (2; 3) cùng phương.
    Đáp án: m·3 − 2·6 = 0 ⇒ m = 4. (Khi đó u→ = 2v→.)

Các bài liên quan trong chương 4

Cùng chuyên đề: Mục lục khác cùng môn, lớp: Giải Toán 10 Bài 13 Kết nối tri thức: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm; Tổng hợp kiến thức Toán 10 Kết nối tri thức: lý thuyết trọng tâm 9 chương; Giải Toán 10 Bài 11 Kết nối tri thức: Tích vô hướng của hai vectơ.

Câu hỏi thường gặp

Tọa độ của vectơ AB được tính như thế nào?

Lấy tọa độ điểm cuối B trừ tọa độ điểm đầu A: AB→ = (x_B − x_A; y_B − y_A). Độ dài AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²).

Làm sao biết hai vectơ cùng phương theo tọa độ?

Với b→ ≠ 0→, hai vectơ a→ = (x; y) và b→ = (x'; y') cùng phương khi có số k để a→ = k·b→, tương đương x·y' − x'·y = 0.

Cách tìm điểm D để ABCD là hình bình hành?

Dùng điều kiện AB→ = DC→ rồi đồng nhất từng thành phần, hoặc dùng công thức D = A + C − B với tọa độ các điểm.

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC tính ra sao?

G có hoành độ và tung độ bằng trung bình cộng tọa độ tương ứng của ba đỉnh: G((x_A + x_B + x_C)/3; (y_A + y_B + y_C)/3).

Bài học liên quan