Trả lời nhanh
Các số đặc trưng đo độ phân tán gồm: khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất; khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1; phương sai s2 là trung bình của bình phương độ lệch so với số trung bình; độ lệch chuẩn s = √(s2). Các số này càng lớn thì số liệu càng phân tán. Ngoài ra, giá trị nằm ngoài [Q1 − 1,5ΔQ; Q3 + 1,5ΔQ] được xem là giá trị bất thường.
Ở Bài 13 em đã học các số đo xu thế trung tâm (trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt). Nhưng hai mẫu số liệu có cùng số trung bình vẫn có thể “đều” hay “lệch” rất khác nhau. Bài 14 trả lời câu hỏi: làm sao dùng một con số để nói số liệu tản mát nhiều hay ít? Cùng xem lại bài trước tại Lý thuyết Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm nếu cần ôn cách tìm trung vị và tứ phân vị.
1. Khoảng biến thiên
Định nghĩa. Khoảng biến thiên, kí hiệu R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu: R = xmax − xmin.
Ý nghĩa. R càng lớn thì số liệu càng trải rộng. R rất dễ tính nhưng chỉ dùng đúng hai giá trị ở hai đầu, nên chỉ cần một giá trị bất thường là R thay đổi mạnh.
Ví dụ 1. Điểm 7 bài kiểm tra 15 phút của hai bạn:
- Lan: 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9
- Minh: 4; 6; 7; 8; 9; 10; 10
Tổng điểm mỗi bạn đều bằng 54 nên điểm trung bình đều là 54 : 7 ≈ 7,71. Khoảng biến thiên: RLan = 9 − 6 = 3; RMinh = 10 − 4 = 6. Vì RMinh > RLan nên điểm của Lan ổn định hơn, của Minh “lên xuống” nhiều hơn.
2. Khoảng tứ phân vị
Định nghĩa. Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ΔQ, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất: ΔQ = Q3 − Q1. Nó chính là khoảng biến thiên của 50% số liệu nằm giữa sau khi sắp xếp. Một số tài liệu gọi R là “biên độ” và ΔQ là “độ trải giữa”.
Cách tìm Q1, Q2, Q3 (theo SGK):
- Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm.
- Tìm trung vị Q2. Nếu n lẻ, trung vị là số chính giữa và không được tính vào hai nửa; nếu n chẵn, chia đôi dãy thành hai nửa bằng nhau.
- Q1 là trung vị của nửa dưới, Q3 là trung vị của nửa trên.
Ví dụ 2. Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của 10 bạn trong tổ, đã sắp xếp: 2; 4; 5; 5; 7; 8; 9; 11; 12; 30.
- n = 10 (chẵn): Q2 = (7 + 8) : 2 = 7,5.
- Nửa dưới 2; 4; 5; 5; 7 → Q1 = 5. Nửa trên 8; 9; 11; 12; 30 → Q3 = 11.
- ΔQ = 11 − 5 = 6, trong khi R = 30 − 2 = 28.
Hai con số 6 và 28 chênh nhau rất xa. Nguyên nhân là bạn đi mất 30 phút, một giá trị “lạc loài” kéo R lên nhưng hầu như không làm ΔQ thay đổi. Đây là ưu điểm lớn của ΔQ: ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
3. Phương sai và độ lệch chuẩn
R chỉ dùng hai giá trị, ΔQ chỉ dùng nửa số liệu ở giữa. Phương sai và độ lệch chuẩn thì dùng tất cả các giá trị. Với mẫu x1, x2, …, xn có số trung bình x̄, độ lệch của xi so với trung bình là xi − x̄.
- Phương sai: s2 = [(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2] : n.
- Độ lệch chuẩn: s = √(s2).
- Công thức tiện tính: s2 = (x12 + x22 + … + xn2) : n − x̄2, tức “trung bình của bình phương trừ bình phương của trung bình”.
- Nếu số liệu cho dạng bảng tần số (giá trị xi xuất hiện ni lần): s2 = [n1(x1 − x̄)2 + … + nk(xk − x̄)2] : n, với n = n1 + … + nk.
Ý nghĩa. Số liệu càng phân tán thì s2 và s càng lớn. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với số liệu nên dễ diễn giải hơn phương sai (đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị gốc).
Chú ý. Một số tài liệu dùng thêm đại lượng ŝ2 chia cho n − 1 thay vì n. Trong chương trình lớp 10, khi đề bài nói “phương sai” ta chia cho n.
Ví dụ 3. Số bàn thắng của một đội bóng trong 6 trận: 6; 8; 5; 9; 7; 7. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Số trung bình: x̄ = (6 + 8 + 5 + 9 + 7 + 7) : 6 = 42 : 6 = 7.
| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)2 |
|---|---|---|
| 6 | −1 | 1 |
| 8 | 1 | 1 |
| 5 | −2 | 4 |
| 9 | 2 | 4 |
| 7 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 |
| Tổng | 0 | 10 |
Suy ra s2 = 10 : 6 ≈ 1,67 và s = √1,67 ≈ 1,29.
Kiểm tra bằng công thức tiện tính: (36 + 64 + 25 + 81 + 49 + 49) : 6 − 72 = 304 : 6 − 49 ≈ 50,67 − 49 = 1,67. Kết quả khớp. Lưu ý cột độ lệch luôn có tổng bằng 0, em dùng điều này để tự kiểm tra bước trừ.
4. Phát hiện số liệu bất thường
Giá trị x trong mẫu được coi là bất thường nếu:
- x < Q1 − 1,5·ΔQ, hoặc
- x > Q3 + 1,5·ΔQ.
Nói cách khác, các giá trị bình thường nằm trong đoạn [Q1 − 1,5ΔQ; Q3 + 1,5ΔQ].
Áp dụng với Ví dụ 2. Q1 = 5, Q3 = 11, ΔQ = 6 nên giới hạn dưới là 5 − 1,5·6 = −4 và giới hạn trên là 11 + 9 = 20. Giá trị 30 lớn hơn 20 nên là giá trị bất thường; các giá trị còn lại đều nằm trong [−4; 20].
Sau khi phát hiện, em nên xem giá trị đó có do nhập sai không, hay thật sự là trường hợp đặc biệt. Nếu loại 30 khỏi mẫu, khoảng biến thiên giảm từ 28 xuống còn 12 − 2 = 10, cho thấy mẫu thực chất khá tập trung.
5. Chọn số đặc trưng nào để so sánh?
| Số đặc trưng | Dùng thông tin | Ưu điểm | Hạn chế |
|---|---|---|---|
| Khoảng biến thiên R | Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất | Rất dễ tính | Nhạy với giá trị bất thường |
| Khoảng tứ phân vị ΔQ | 50% số liệu ở giữa | Ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường | Bỏ qua 50% số liệu ở hai đầu |
| Phương sai, độ lệch chuẩn | Mọi giá trị | Phản ánh đầy đủ nhất | Tính toán dài; chịu ảnh hưởng của giá trị bất thường |
Mẹo chọn: mẫu nhỏ, cần nhìn nhanh → dùng R; mẫu có giá trị “lạc loài” → dùng ΔQ; cần so sánh chính xác hai mẫu có số trung bình gần nhau → dùng độ lệch chuẩn. Khi so sánh hai mẫu bằng phương sai, hai mẫu phải cùng đơn vị đo.
Lỗi sai thường gặp
- Quên sắp xếp mẫu trước khi tìm R, Q1, Q3. Riêng R thì chỉ cần tìm max, min nhưng Q1, Q3 bắt buộc phải sắp xếp.
- Nhầm cách chia nửa khi n lẻ: số trung vị không được đưa vào nửa dưới hay nửa trên.
- Quên chia cho n hoặc chia nhầm cho n − 1 khi tính phương sai.
- Quên khai căn: phương sai chưa phải độ lệch chuẩn.
- Bình phương sai dấu: (−3)2 = 9, không phải −9. Tổng bình phương độ lệch không bao giờ âm.
- Kết luận ngược: R, ΔQ, s càng nhỏ thì số liệu càng tập trung, ổn định, chứ không phải phân tán hơn.
Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Cho mẫu số liệu: 12; 15; 11; 18; 14. Tìm khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn.
Đáp án: R = 18 − 11 = 7. Trung bình = 70 : 5 = 14. Các độ lệch: −2; 1; −3; 4; 0, bình phương: 4; 1; 9; 16; 0, tổng 30. Vậy s2 = 30 : 5 = 6 và s = √6 ≈ 2,45.
Bài 2. Cho mẫu: 1; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8; 25. Tìm khoảng tứ phân vị và các giá trị bất thường.
Đáp án: n = 10, Q2 = (5 + 6) : 2 = 5,5. Nửa dưới 1; 3; 4; 4; 5 → Q1 = 4. Nửa trên 6; 6; 7; 8; 25 → Q3 = 7. ΔQ = 3. Giới hạn: 4 − 4,5 = −0,5 và 7 + 4,5 = 11,5. Chỉ có 25 > 11,5 nên 25 là giá trị bất thường.
Bài 3. Hai nhóm học sinh cùng làm 5 bài kiểm tra. Nhóm A: 6; 7; 8; 9; 10. Nhóm B: 4; 6; 8; 10; 12 (thang điểm giả định để luyện tập). Nhóm nào có kết quả đồng đều hơn?
Đáp án: Cả hai có trung bình bằng 8. Nhóm A: tổng bình phương độ lệch = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10, s2A = 2. Nhóm B: 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40, s2B = 8. Vì 2 < 8 nên nhóm A đồng đều hơn (sA ≈ 1,41; sB ≈ 2,83).
Tài liệu học tiếp Bài 14
- Giải SGK Toán 10 Bài 14 (Kết nối tri thức)
- Sách bài tập Toán 10 Bài 14
- 20 câu trắc nghiệm Các số đặc trưng đo độ phân tán
- Lý thuyết Bài 15: Hàm số (bài kế tiếp)
Tóm tắt nhanh
- R = xmax − xmin; ΔQ = Q3 − Q1.
- s2 = tổng bình phương độ lệch : n; s = √(s2).
- Giá trị bất thường: nhỏ hơn Q1 − 1,5ΔQ hoặc lớn hơn Q3 + 1,5ΔQ.
- Các số đo càng lớn → số liệu càng phân tán.
Câu hỏi thường gặp
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị khác nhau thế nào?
Khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất, dùng toàn bộ phạm vi số liệu. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 chỉ đo độ trải của 50% số liệu ở giữa nên ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
Phương sai tính bằng công thức nào?
s² = [(x1 − x̄)² + (x2 − x̄)² + … + (xn − x̄)²] : n, hoặc dạng tiện tính s² = trung bình của bình phương các giá trị trừ bình phương của số trung bình.
Khi nào một giá trị được coi là bất thường?
Khi nó nhỏ hơn Q1 − 1,5ΔQ hoặc lớn hơn Q3 + 1,5ΔQ, trong đó ΔQ = Q3 − Q1.
Độ lệch chuẩn nhỏ nói lên điều gì?
Độ lệch chuẩn nhỏ nghĩa là các giá trị tập trung gần số trung bình, số liệu ít phân tán và ổn định hơn.