Trả lời nhanh
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm O bất kì và lần lượt song song (hoặc trùng) với a, b. Số đo góc này luôn thuộc đoạn [0°; 90°]. Nếu u, v là hai vectơ chỉ phương thì cos(a, b) = |u·v| / (|u|·|v|).
1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng, hai đường thẳng cắt nhau tạo ra bốn góc, nên ta lấy góc nhỏ nhất làm “góc giữa chúng”. Trong không gian, hai đường thẳng có thể chéo nhau, không cắt nhau, nên không có sẵn một góc để đo. Ta phải “kéo” chúng về cùng một điểm.
Cho hai đường thẳng a, b bất kì. Lấy một điểm O tuỳ ý, qua O dựng a’ // a và b’ // b. Góc giữa a’ và b’ không phụ thuộc vào vị trí của O, vì vậy ta định nghĩa:
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a, b. Kí hiệu (a, b) hoặc ∠(a, b).
Các tính chất cần nhớ
- 0° ≤ (a, b) ≤ 90°. Không bao giờ có góc tù.
- a // b hoặc a ≡ b thì (a, b) = 0°.
- (a, b) = 90° khi và chỉ khi a ⊥ b. Nội dung này được khai thác kĩ ở bài hai đường thẳng vuông góc, xem thêm Hai đường thẳng vuông góc: lý thuyết và bài tập.
- Nếu a’ // a thì (a’, b) = (a, b). Đây là chìa khoá để “dời” đường thẳng sang vị trí dễ tính hơn.
2. Hai cách xác định góc giữa hai đường thẳng
Cách 1: Dựng đường song song (phương pháp hình học)
- Chọn điểm O thuộc một trong hai đường (thường là giao điểm hoặc một đỉnh quen thuộc của hình).
- Qua O kẻ đường thẳng song song với đường còn lại. Có thể dùng đường trung bình, hình bình hành, hai cạnh đối của hình chữ nhật…
- Đặt góc cần tìm vào một tam giác, rồi tính bằng định lí cosin, tỉ số lượng giác hoặc nhận ra tam giác đặc biệt.
- Kết luận. Nếu góc trong tam giác là góc tù thì lấy góc bù với nó.
Định lí cosin trong tam giác ABC: cos∠BAC = (AB² + AC² − BC²) / (2·AB·AC).
Cách 2: Dùng vectơ
Gọi u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của a, b và φ = (u, v) là góc giữa hai vectơ (0° ≤ φ ≤ 180°). Khi đó:
- (a, b) = φ nếu φ ≤ 90°;
- (a, b) = 180° − φ nếu φ > 90°.
Gộp hai trường hợp lại ta có công thức:
cos(a, b) = |u·v| / (|u|·|v|)
Với hai đường thẳng AB và CD: cos(AB, CD) = |AB·CD| / (AB·CD), trong đó tử số là giá trị tuyệt đối của tích vô hướng hai vectơ AB và CD. Nếu bài toán cho toạ độ Oxyz (ôn lại ở phương trình đường thẳng), ta chỉ việc lấy vectơ chỉ phương rồi thay vào công thức.
Khi nào dùng cách nào?
| Dấu hiệu của bài toán | Nên chọn |
|---|---|
| Hình có sẵn cạnh song song, trung điểm, tam giác đặc biệt | Dựng đường song song |
| Hình chóp, tứ diện có cạnh và góc tại một đỉnh đã biết | Vectơ với ba vectơ cơ sở |
| Đề cho toạ độ điểm hoặc phương trình đường thẳng | Vectơ chỉ phương, công thức cosin |
| Chỉ cần chứng minh vuông góc | Tích vô hướng bằng 0 hoặc đường thẳng vuông góc mặt phẳng |
3. Ví dụ minh hoạ có lời giải
Ví dụ 1 (hình lập phương, dựng đường song song)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’.
Giải. Vì ABC’D’ … ta quan sát: AB’ // DC’ (do ADC’B’ là hình chữ nhật, hai cạnh đối AB’ và DC’ song song). Do đó (AB’, BC’) = (DC’, BC’) = góc BC’D (nếu góc này nhọn).
Gọi cạnh hình lập phương là a. Ba đoạn BD, DC’, BC’ đều là đường chéo của các mặt vuông nên đều bằng a√2. Tam giác BDC’ có ba cạnh bằng nhau nên đều, suy ra ∠BC’D = 60°.
Đáp số: 60°.
Ví dụ 2 (tứ diện đều, dùng vectơ)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa AB và DM.
Giải. Đặt b = AB, c = AC, d = AD. Mỗi vectơ có độ dài a, và vì các mặt là tam giác đều nên b·c = c·d = b·d = a²/2.
Ta có DM = (DB + DC)/2 = ((b − d) + (c − d))/2 = (b + c − 2d)/2.
AB·DM = b·(b + c − 2d)/2 = (a² + a²/2 − a²)/2 = a²/4.
Độ dài DM là đường trung tuyến của tam giác đều nên DM = a√3/2. Vậy
cos(AB, DM) = (a²/4) / (a · a√3/2) = 1/(2√3) = √3/6.
Đáp số: cos = √3/6 (góc khoảng 73°).
Ví dụ 3 (hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính (SB, CD) và (SC, BD).
Giải.
- CD // AB nên (SB, CD) = (SB, AB) = ∠SBA. Tam giác SAB vuông tại A có SA = AB = a nên tan∠SBA = 1, tức ∠SBA = 45°.
- BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông) và BD ⊥ SA (vì SA ⊥ đáy) nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ SC. Vậy (SC, BD) = 90°.
Đáp số: 45° và 90°.
Ví dụ 4 (toạ độ, chú ý dấu giá trị tuyệt đối)
Trong Oxyz, đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương u = (1; −2; 2), đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương v = (2; 2; −1). Tính góc giữa d₁ và d₂.
Giải. u·v = 1·2 + (−2)·2 + 2·(−1) = −4; |u| = √(1+4+4) = 3; |v| = √(4+4+1) = 3.
cos(d₁, d₂) = |−4| / (3·3) = 4/9. Vậy góc giữa hai đường thẳng khoảng 63,6°.
Nếu quên dấu giá trị tuyệt đối, ta được cos = −4/9, tức góc tù khoảng 116,4°, không thể là góc giữa hai đường thẳng.
4. Lỗi sai thường gặp và mẹo nhớ
- Nhầm góc giữa hai vectơ với góc giữa hai đường thẳng. Góc hai vectơ có thể tù, góc hai đường thẳng thì không. Luôn kiểm tra dấu của cos, hoặc đặt giá trị tuyệt đối ngay từ đầu.
- Tính nhầm góc tù của tam giác thành đáp số. Khi dựng đường song song, góc trong tam giác có thể là 120°, 135°. Khi đó góc cần tìm là 60°, 45° (lấy phần bù).
- Dời sai đường thẳng. Chỉ được dời một đường thẳng sang đường song song với nó. Không được tuỳ ý thay bằng một đường thẳng khác chỉ vì “nhìn gần giống”.
- Quên chứng minh song song. Bài tự luận cần nêu lí do vì sao a’ // a (đường trung bình, hình bình hành, hai cạnh đối hình chữ nhật…).
Mẹo nhớ: “Góc hai đường thẳng: nhọn hoặc vuông, tử số phải có dấu giá trị tuyệt đối”.
Góc giữa hai đường thẳng còn là bước đầu để học các khái niệm tiếp theo: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Để ôn cả chương, em xem thêm tổng hợp hình học không gian lớp 11.
5. Bài luyện tập (có đáp án)
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính góc giữa AC và A’D.
Gợi ý: A’D // B’C. Tam giác AB’C có AC = AB’ = B’C = a√2 nên đều. Đáp án: 60°.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a√3. Tính cosin góc giữa SB và AC.
Gợi ý: SB = √(3a² + a²) = 2a. SB·AC = (SA + AB)·AC = 0 + AB·AC = a²/2. cos = (a²/2)/(2a·a). Đáp án: 1/4.
Bài 3. Trong Oxyz, đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương (1; 2; 2), đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương (2; 3; 6). Tính cosin góc giữa d₁ và d₂.
Gợi ý: tích vô hướng = 2 + 6 + 12 = 20; độ dài lần lượt 3 và 7. Đáp án: 20/21.
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian có thể lớn hơn 90° không?
Không. Góc giữa hai đường thẳng luôn thuộc đoạn từ 0° đến 90°. Nếu góc giữa hai vectơ chỉ phương lớn hơn 90° thì ta lấy 180° trừ đi góc đó.
Hai đường thẳng chéo nhau có tính được góc không?
Có. Ta lấy một điểm bất kì, dựng hai đường thẳng đi qua điểm đó và song song với hai đường đã cho. Góc giữa hai đường thẳng mới dựng chính là góc cần tìm.
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng bằng vectơ là gì?
Nếu u và v là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng thì cos của góc giữa chúng bằng giá trị tuyệt đối của tích vô hướng u·v chia cho tích độ dài |u|·|v|.
Hai đường thẳng vuông góc khi nào?
Hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°, tương đương tích vô hướng hai vectơ chỉ phương bằng 0.