Công thức lượng giác quan trọng nhất là sin2x + cos2x = 1, cùng với các nhóm công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc, biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng. Toàn bộ các công thức này đều có thể suy ra từ công thức cộng cos(a − b) = cos a·cos b + sin a·sin b. Bài viết tổng hợp đầy đủ theo từng nhóm, kèm bảng giá trị đặc biệt, ví dụ giải chi tiết, mẹo ghi nhớ và bài tập có đáp án.
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
| Góc | 0° | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | không xác định |
| cot | không xác định | √3 | 1 | √3/3 | 0 |
Đổi đơn vị: 180° = π rad, nên góc a độ bằng a·π/180 rad.
Các hệ thức lượng giác cơ bản
- sin2x + cos2x = 1
- tan x = sin x / cos x (cos x ≠ 0); cot x = cos x / sin x (sin x ≠ 0)
- tan x · cot x = 1
- 1 + tan2x = 1/cos2x; 1 + cot2x = 1/sin2x
Dấu của các giá trị: góc phần tư thứ I cả bốn giá trị đều dương; phần tư thứ II chỉ sin dương; phần tư thứ III chỉ tan và cot dương; phần tư thứ IV chỉ cos dương.
Công thức cung liên kết
Câu thần chú quen thuộc: “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tang và cotang”.
| Quan hệ | Công thức |
|---|---|
| Góc đối (−x) | cos(−x) = cos x; sin(−x) = −sin x; tan(−x) = −tan x |
| Góc bù (π − x) | sin(π − x) = sin x; cos(π − x) = −cos x; tan(π − x) = −tan x |
| Góc phụ (π/2 − x) | sin(π/2 − x) = cos x; cos(π/2 − x) = sin x; tan(π/2 − x) = cot x |
| Hơn kém π (π + x) | tan(π + x) = tan x; cot(π + x) = cot x; sin(π + x) = −sin x; cos(π + x) = −cos x |
Bảng tổng hợp công thức lượng giác biến đổi
Công thức cộng
- cos(a ± b) = cos a·cos b ∓ sin a·sin b
- sin(a ± b) = sin a·cos b ± cos a·sin b
- tan(a ± b) = (tan a ± tan b)/(1 ∓ tan a·tan b)
Công thức nhân đôi, nhân ba
- sin 2a = 2sin a·cos a
- cos 2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1 = 1 − 2sin2a
- tan 2a = 2tan a/(1 − tan2a)
- sin 3a = 3sin a − 4sin3a; cos 3a = 4cos3a − 3cos a
Công thức hạ bậc
- sin2a = (1 − cos 2a)/2
- cos2a = (1 + cos 2a)/2
- tan2a = (1 − cos 2a)/(1 + cos 2a)
Công thức biến đổi tổng thành tích
| Tổng, hiệu | Tích |
|---|---|
| cos a + cos b | 2cos[(a + b)/2]·cos[(a − b)/2] |
| cos a − cos b | −2sin[(a + b)/2]·sin[(a − b)/2] |
| sin a + sin b | 2sin[(a + b)/2]·cos[(a − b)/2] |
| sin a − sin b | 2cos[(a + b)/2]·sin[(a − b)/2] |
Công thức biến đổi tích thành tổng
- cos a·cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)]
- sin a·sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)]
- sin a·cos b = ½[sin(a − b) + sin(a + b)]
Ví dụ có lời giải chi tiết
Ví dụ 1: Tính cos 15°
Viết 15° = 45° − 30° rồi dùng công thức cộng:
cos 15° = cos 45°·cos 30° + sin 45°·sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966.
Vì 75° phụ với 15° nên sin 75° = cos 15° = (√6 + √2)/4.
Ví dụ 2: Tính giá trị khi biết một giá trị lượng giác
Cho sin a = 3/5 với π/2 < a < π. Tính cos a, tan a, sin 2a, cos 2a.
Bước 1: cos2a = 1 − 9/25 = 16/25. Vì a thuộc góc phần tư thứ II nên cos a < 0, suy ra cos a = −4/5.
Bước 2: tan a = (3/5) : (−4/5) = −3/4.
Bước 3: sin 2a = 2·(3/5)·(−4/5) = −24/25.
Bước 4: cos 2a = 1 − 2sin2a = 1 − 18/25 = 7/25.
Kiểm tra: (−24/25)2 + (7/25)2 = (576 + 49)/625 = 1, đúng.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức
Rút gọn A = sin4x − cos4x.
A = (sin2x − cos2x)(sin2x + cos2x) = (sin2x − cos2x)·1 = −cos 2x.
Mẹo ghi nhớ nhanh
- Công thức cộng: “sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ” (với a + b; khi a − b thì đổi dấu ở giữa).
- Tổng thành tích: “cos cộng cos bằng hai cos cos, cos trừ cos bằng trừ hai sin sin, sin cộng sin bằng hai sin cos, sin trừ sin bằng hai cos sin”.
- Hạ bậc: sin2 đi với dấu trừ, cos2 đi với dấu cộng; đều chia 2.
- Tự suy ra: nhân đôi là công thức cộng với b = a; hạ bậc là công thức cos 2a viết ngược lại.
Lỗi thường gặp
- Viết sin(a + b) = sin a + sin b. Thử a = b = 30°: vế trái bằng sin 60° ≈ 0,866, vế phải bằng 1.
- Quên xét dấu khi tính cos a từ sin a, dẫn đến lấy sai dấu căn.
- Nhầm sin 2a = 2sin a. Đúng phải là 2sin a·cos a.
- Để máy tính ở chế độ độ (D) khi đề bài dùng radian, hoặc ngược lại.
Bài tập công thức lượng giác có đáp án
Bài 1. Tính sin 15°.
Xem đáp án
sin 15° = sin(45° − 30°) = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4.
Bài 2. Cho cos a = 1/3. Tính cos 2a.
Xem đáp án
cos 2a = 2cos2a − 1 = 2/9 − 1 = −7/9.
Bài 3. Rút gọn (sin x + cos x)2.
Xem đáp án
= sin2x + 2sin x·cos x + cos2x = 1 + sin 2x.
Bài 4. Tính tan 75°.
Xem đáp án
tan 75° = tan(45° + 30°) = (1 + √3/3)/(1 − √3/3) = (3 + √3)/(3 − √3) = (12 + 6√3)/6 = 2 + √3.
Bài 5. Tính cos215° − sin215°.
Xem đáp án
Theo công thức nhân đôi, biểu thức bằng cos 30° = √3/2.
Bài 6. Tính 2sin 75°·cos 15°.
Xem đáp án
2sin 75°·cos 15° = sin(75° − 15°) + sin(75° + 15°) = sin 60° + sin 90° = √3/2 + 1.
Bài 7. Biến đổi thành tích: cos 5x + cos 3x.
Xem đáp án
cos 5x + cos 3x = 2cos 4x·cos x.
Câu hỏi thường gặp
Công thức lượng giác được học ở lớp mấy?
Tỉ số lượng giác của góc nhọn được học ở lớp 9; các công thức lượng giác tổng quát (cộng, nhân đôi, biến đổi tổng thành tích) được học ở chương đầu của Toán 11.
Câu "cos đối, sin bù, phụ chéo" nghĩa là gì?
Cos của hai góc đối bằng nhau, sin của hai góc bù nhau bằng nhau, hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia (chéo nhau), còn hai góc hơn kém π thì có tan và cot bằng nhau.
Có cần học thuộc tất cả công thức lượng giác không?
Nên thuộc nhóm cơ bản, cung liên kết và công thức cộng. Các nhóm nhân đôi, hạ bậc, tổng thành tích có thể suy ra từ công thức cộng, nhưng thuộc sẵn sẽ giúp làm bài nhanh hơn nhiều.
sin²x + cos²x = 1 đúng với mọi x không?
Đúng. Đây là hệ quả của định lý Py-ta-go trên đường tròn lượng giác bán kính 1 và đúng với mọi số thực x.
Làm sao nhớ dấu của sin, cos trong các góc phần tư?
Góc phần tư I: tất cả dương; II: chỉ sin dương; III: chỉ tan và cot dương; IV: chỉ cos dương. Có thể vẽ đường tròn lượng giác và nhìn tung độ (sin), hoành độ (cos) để kiểm tra.