Công thức đạo hàm cơ bản nhất là (xn)’ = n·xn−1, cùng với (sin x)’ = cos x, (cos x)’ = −sin x, (ex)’ = ex và (ln x)’ = 1/x. Khi kết hợp với các quy tắc tính đạo hàm của tổng, tích, thương và hàm hợp, bạn có thể tính đạo hàm của hầu hết hàm số trong chương trình Toán 11 và Toán 12. Dưới đây là bảng đạo hàm đầy đủ, ví dụ giải chi tiết và bài tập tự luyện có đáp án.
Đạo hàm là gì?
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số Δy/Δx khi Δx dần tới 0:
f'(x0) = limΔx→0 [f(x0 + Δx) − f(x0)] / Δx
Về ý nghĩa hình học, f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x0. Về ý nghĩa vật lý, nếu s(t) là quãng đường theo thời gian thì s'(t) là vận tốc tức thời. Trong thực hành, ta hầu như không tính bằng định nghĩa mà dùng bảng công thức bên dưới.
Bảng công thức đạo hàm cơ bản và hàm hợp
Trong bảng, u = u(x) là một hàm số theo x có đạo hàm u’. Cột bên phải chính là cột bên trái nhân thêm u’.
| Hàm sơ cấp | Hàm hợp u = u(x) |
|---|---|
| (c)’ = 0 (c là hằng số) | — |
| (x)’ = 1 | — |
| (xn)’ = n·xn−1 | (un)’ = n·un−1·u’ |
| (1/x)’ = −1/x2 | (1/u)’ = −u’/u2 |
| (√x)’ = 1/(2√x) | (√u)’ = u’/(2√u) |
| (sin x)’ = cos x | (sin u)’ = u’·cos u |
| (cos x)’ = −sin x | (cos u)’ = −u’·sin u |
| (tan x)’ = 1/cos2x | (tan u)’ = u’/cos2u |
| (cot x)’ = −1/sin2x | (cot u)’ = −u’/sin2u |
| (ex)’ = ex | (eu)’ = u’·eu |
| (ax)’ = ax·ln a | (au)’ = u’·au·ln a |
| (ln x)’ = 1/x | (ln u)’ = u’/u |
| (logax)’ = 1/(x·ln a) | (logau)’ = u’/(u·ln a) |
Điều kiện: √x cần x > 0; ln x và logax cần x > 0; cơ số a thỏa 0 < a ≠ 1. Riêng (ln|x|)’ = 1/x với mọi x ≠ 0.
Quy tắc tính đạo hàm
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Tổng, hiệu | (u ± v)’ = u’ ± v’ |
| Hằng số nhân | (k·u)’ = k·u’ |
| Tích | (u·v)’ = u’·v + u·v’ |
| Thương | (u/v)’ = (u’·v − u·v’)/v2, với v ≠ 0 |
| Hàm hợp | y’x = y’u · u’x |
Công thức nhanh cho hàm phân thức bậc nhất
Với y = (ax + b)/(cx + d), ta có y’ = (ad − bc)/(cx + d)2. Công thức này suy ra trực tiếp từ quy tắc đạo hàm của thương và rất hay dùng khi khảo sát hàm số lớp 12.
Ví dụ tính đạo hàm có lời giải
Ví dụ 1: Đa thức
y = 3x4 − 2x2 + 5x − 7.
Áp dụng quy tắc tổng và (xn)’ = n·xn−1: y’ = 3·4x3 − 2·2x + 5 − 0 = 12x3 − 4x + 5.
Ví dụ 2: Đạo hàm của tích
y = x2·sin x. Đặt u = x2, v = sin x thì u’ = 2x, v’ = cos x.
y’ = u’v + uv’ = 2x·sin x + x2·cos x.
Ví dụ 3: Đạo hàm của thương
y = (2x + 1)/(x − 1).
Cách 1: y’ = [2(x − 1) − (2x + 1)·1]/(x − 1)2 = (2x − 2 − 2x − 1)/(x − 1)2 = −3/(x − 1)2.
Cách 2: dùng công thức nhanh với a = 2, b = 1, c = 1, d = −1: ad − bc = −2 − 1 = −3, nên y’ = −3/(x − 1)2.
Ví dụ 4: Hàm hợp
- y = (x2 + 1)5: y’ = 5(x2 + 1)4·2x = 10x(x2 + 1)4.
- y = sin 3x: y’ = 3cos 3x.
- y = e2x: y’ = 2e2x.
- y = ln(x2 + 1): y’ = 2x/(x2 + 1).
- y = √(x2 + 3): y’ = 2x/(2√(x2 + 3)) = x/√(x2 + 3).
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = x3 − 3x tại điểm có hoành độ x0 = 2.
Bước 1: y(2) = 8 − 6 = 2. Bước 2: y’ = 3x2 − 3 nên y'(2) = 12 − 3 = 9. Bước 3: tiếp tuyến y = y'(x0)(x − x0) + y(x0) = 9(x − 2) + 2 = 9x − 16.
Đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm cấp một: y” = (y’)’. Ví dụ y = x3 thì y’ = 3x2 và y” = 6x. Trong vật lý, nếu s(t) là quãng đường thì s”(t) là gia tốc tức thời.
Mẹo ghi nhớ nhanh
- “Hàm hợp thì nhân thêm u'”: học thuộc cột hàm sơ cấp, cột hàm hợp chỉ việc thay x bằng u rồi nhân với u’.
- Nhóm “co” mang dấu trừ: đạo hàm của cos và cot đều có dấu trừ phía trước, còn sin và tan thì không.
- ex giữ nguyên: ex là hàm duy nhất (sai khác hằng số nhân) có đạo hàm bằng chính nó.
- Tích là “đạo hàm cái đầu nhân cái sau, cộng cái đầu nhân đạo hàm cái sau”; thương thì đổi dấu cộng thành trừ và chia cho mẫu bình phương.
Lỗi thường gặp khi tính đạo hàm
- Viết (u·v)’ = u’·v’. Đây là sai; phải dùng u’v + uv’.
- Quên nhân u’ với hàm hợp, ví dụ viết (sin 3x)’ = cos 3x thay vì 3cos 3x.
- Đảo thứ tự tử số trong quy tắc thương: phải là u’v − uv’, không phải uv’ − u’v.
- Nhầm (ax)’ = x·ax−1. Công thức lũy thừa chỉ áp dụng khi cơ số là biến, số mũ là hằng.
- Quên điều kiện xác định của √x, ln x khi tính đạo hàm tại một điểm.
Bài tập công thức đạo hàm tự luyện
Bài 1. Tính đạo hàm của y = x5 − 4x3 + 2.
Xem đáp án
y’ = 5x4 − 12x2.
Bài 2. Tính đạo hàm của y = (3x − 2)4.
Xem đáp án
y’ = 4(3x − 2)3·3 = 12(3x − 2)3.
Bài 3. Tính đạo hàm của y = x·ex.
Xem đáp án
y’ = 1·ex + x·ex = (x + 1)ex.
Bài 4. Tính đạo hàm của y = cos(2x + 1).
Xem đáp án
y’ = −2sin(2x + 1).
Bài 5. Tính đạo hàm của y = (x + 3)/(x − 2).
Xem đáp án
ad − bc = 1·(−2) − 3·1 = −5, nên y’ = −5/(x − 2)2.
Bài 6. Tính đạo hàm của y = ln(3x) với x > 0.
Xem đáp án
y’ = 3/(3x) = 1/x.
Bài 7. Tính đạo hàm của y = tan 2x.
Xem đáp án
y’ = 2/cos22x.
Bài 8. Cho y = x3 − 3x. Tính y'(1) và y”(1).
Xem đáp án
y’ = 3x2 − 3 nên y'(1) = 0; y” = 6x nên y”(1) = 6.
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm được học ở lớp mấy?
Theo chương trình giáo dục phổ thông 2018, đạo hàm được học ở cuối lớp 11 và được vận dụng xuyên suốt lớp 12 để khảo sát hàm số, tìm cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Đạo hàm của hằng số bằng bao nhiêu?
Đạo hàm của mọi hằng số đều bằng 0, ví dụ (5)' = 0 và (π)' = 0, vì hàm hằng không thay đổi giá trị khi x thay đổi.
Đạo hàm của √x là gì?
Với x > 0, (√x)' = 1/(2√x). Nếu là hàm hợp √u thì (√u)' = u'/(2√u).
Đạo hàm của tan x bằng bao nhiêu?
(tan x)' = 1/cos²x = 1 + tan²x, với cos x khác 0. Hai cách viết này tương đương nhau.
Đạo hàm và nguyên hàm khác nhau thế nào?
Đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi của hàm số, còn nguyên hàm là phép toán ngược: F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu F'(x) = f(x). Vì vậy có thể dùng đạo hàm để kiểm tra lại kết quả nguyên hàm.