Trả lời nhanh
Phương trình sin x = 1/2 có hai họ nghiệm: x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ). Vì vậy, một trong các họ nghiệm là x = π/6 + k2π (hoặc x = 5π/6 + k2π). Lý do: 1/2 = sin(π/6), và sin x = sin α khi x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π.
Cách giải phương trình sin x = 1/2
Bước đầu tiên là đưa vế phải về dạng sin của một góc quen thuộc. Ta nhớ sin(π/6) = 1/2 (tức sin 30° = 1/2), nên:
sin x = 1/2 ⇔ sin x = sin(π/6)
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình sin x = sin α:
- x = α + k2π
- x = π − α + k2π, với k ∈ ℤ
Thay α = π/6, ta được:
- x = π/6 + k2π
- x = π − π/6 + k2π = 5π/6 + k2π
Kết luận: tập nghiệm S = {π/6 + k2π; 5π/6 + k2π | k ∈ ℤ}. Nếu làm theo độ: x = 30° + k360° hoặc x = 150° + k360°.
Vì sao có hai họ nghiệm? Nhìn trên đường tròn lượng giác
Giá trị sin x là tung độ của điểm biểu diễn góc x trên đường tròn lượng giác. Muốn sin x = 1/2, ta kẻ đường thẳng nằm ngang y = 1/2. Đường này cắt đường tròn tại đúng hai điểm, nên có hai họ nghiệm.
Hai điểm này đối xứng nhau qua trục tung, vì vậy hai góc có tổng bằng π: π/6 + 5π/6 = π. Mỗi điểm lặp lại sau một vòng quay 2π, từ đó có “+ k2π”.
Kiểm tra nhanh một họ nghiệm
Khi đề cho sẵn các phương án, bạn chỉ cần thay vài giá trị k vào và tính sin:
| Họ nghiệm | Thử k | Giá trị sin | Kết luận |
|---|---|---|---|
| π/6 + k2π | k = 1: 13π/6 | sin(13π/6) = sin(π/6) = 1/2 | Đúng |
| 5π/6 + k2π | k = 1: 17π/6 | sin(17π/6) = sin(5π/6) = 1/2 | Đúng |
| π/3 + k2π | k = 0 | sin(π/3) = √3/2 | Sai |
| −π/6 + k2π | k = 0 | sin(−π/6) = −1/2 | Sai |
| π/6 + kπ | k = 1: 7π/6 | sin(7π/6) = −1/2 | Sai |
| 5π/6 + kπ | k = 1: 11π/6 | sin(11π/6) = −1/2 | Sai |
Lưu ý: bài gốc không kèm phương án nên bảng trên chỉ là các “bẫy” thường gặp, dùng để bạn đối chiếu khi gặp đề trắc nghiệm.
Ngoài ra, hai họ nghiệm có thể viết gộp thành x = (−1)k·π/6 + kπ. Kiểm tra: k = 0 cho π/6; k = 1 cho −π/6 + π = 5π/6; k = 2 cho π/6 + 2π. Cách viết này cũng đúng.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm với cos: viết x = ±π/6 + k2π. Dạng “±” là của phương trình cos x = cos α, không dùng cho sin.
- Quên chu kỳ: viết kπ thay cho k2π. Chu kỳ của sin là 2π, không phải π (chu kỳ π là của tan, cot).
- Tính sai họ thứ hai: viết 2π/3 hoặc 5π/3 thay vì 5π/6. Họ thứ hai luôn là π − α.
- Quên điều kiện k ∈ ℤ: khi trình bày tự luận, nên ghi rõ.
Mẹo nhớ: “sin cùng tung độ, góc bù nhau” – hai góc có cùng sin thì cộng lại bằng π (cùng thêm k2π).
Nghiệm trong một khoảng cho trước
Ví dụ: tìm nghiệm của sin x = 1/2 trong đoạn [0; 2π]. Cho k = 0 ở cả hai họ ta được x = π/6 và x = 5π/6. Với k = 1 thì các giá trị 13π/6 và 17π/6 đều lớn hơn 2π, còn k = −1 cho giá trị âm, nên đều bị loại. Vậy có đúng 2 nghiệm.
Trong đoạn [0; 4π] sẽ có 4 nghiệm: π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6.
Bài luyện tập có đáp án
- Giải phương trình sin x = −1/2.
Đáp án: sin x = sin(−π/6) nên x = −π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π (k ∈ ℤ). - Giải phương trình sin 2x = 1/2.
Đáp án: 2x = π/6 + k2π hoặc 2x = 5π/6 + k2π, suy ra x = π/12 + kπ hoặc x = 5π/12 + kπ (k ∈ ℤ). - Giải phương trình sin(x − π/3) = 1/2.
Đáp án: x − π/3 = π/6 + k2π cho x = π/2 + k2π; x − π/3 = 5π/6 + k2π cho x = 7π/6 + k2π (k ∈ ℤ). Thử: sin(π/2 − π/3) = sin(π/6) = 1/2 nên đúng.
Phương pháp chung: đưa về dạng sin u = sin α rồi giải theo hai họ nghiệm. Sau đó giải tiếp để tìm x, chia cả hai vế cho hệ số của x nếu có.
Câu hỏi thường gặp
Nghiệm của phương trình sin x = 1/2 là gì?
Phương trình có hai họ nghiệm: x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π, với k là số nguyên. Tính theo độ là x = 30° + k360° và x = 150° + k360°.
Vì sao sin x = 1/2 không có nghiệm dạng ±π/6 + k2π?
Dạng ± chỉ dùng cho phương trình cos x = cos α. Với sin, hai họ nghiệm là α + k2π và π − α + k2π. Thay x = −π/6 vào còn cho sin = −1/2, không thoả mãn.
Có thể viết gộp hai họ nghiệm của sin x = 1/2 không?
Có, viết gọn thành x = (−1)^k · π/6 + kπ, với k ∈ ℤ. Khi k chẵn ta được họ π/6 + k2π, khi k lẻ ta được họ 5π/6 + k2π.
Phương trình sin x = 1/2 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn [0; 2π]?
Có đúng 2 nghiệm là x = π/6 và x = 5π/6, ứng với hai giao điểm của đường thẳng y = 1/2 với đường tròn lượng giác.