Trả lời nhanh
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có 4 mặt phẳng đối xứng: hai mặt phẳng (SAC), (SBD) chứa các đường chéo đáy và hai mặt phẳng đi qua S cùng trung điểm của hai cạnh đáy đối nhau. Cả bốn mặt phẳng đều chứa đường cao SO, vì đáy là hình vuông có đúng 4 trục đối xứng.
Hình chóp tứ giác đều và mặt phẳng đối xứng là gì?
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, còn chân đường cao của hình chóp trùng với O (tức SO ⟂ (ABCD)). Khi đó bốn cạnh bên SA = SB = SC = SD.
Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của một hình nếu phép đối xứng qua (P) biến hình đó thành chính nó. Hiểu đơn giản: đặt một chiếc gương phẳng cắt hình, nửa này là ảnh của nửa kia qua gương.
Bốn mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Bốn mặt phẳng đối xứng là:
- Mặt phẳng (SAC) – chứa đường chéo AC, đối xứng qua đó B ↔ D.
- Mặt phẳng (SBD) – chứa đường chéo BD, đối xứng qua đó A ↔ C.
- Mặt phẳng (SMP) – đi qua S và trung điểm M, P của hai cạnh AB, CD, đối xứng qua đó A ↔ B, D ↔ C.
- Mặt phẳng (SNQ) – đi qua S và trung điểm N, Q của hai cạnh BC, DA, đối xứng qua đó B ↔ C, A ↔ D.
Mỗi mặt phẳng trên đều chứa đường cao SO và cắt mặt đáy theo một trục đối xứng của hình vuông ABCD.
Vì sao chỉ có 4 mặt phẳng, không nhiều hơn?
- Phải đi qua đỉnh S. Phép đối xứng giữ nguyên hình chóp thì phải giữ nguyên đỉnh S (đỉnh duy nhất mà tại đó có 4 mặt cùng gặp nhau), nên mặt phẳng đối xứng chứa S.
- Phải chứa đường cao SO. Phép đối xứng cũng biến đáy ABCD thành chính nó, nên giữ tâm O cố định. Do đó mặt phẳng đi qua cả S và O.
- Giao với đáy là trục đối xứng của hình vuông. Hình vuông có đúng 4 trục đối xứng (2 đường chéo, 2 đường nối trung điểm cạnh đối). Mỗi trục cho đúng một mặt phẳng chứa nó và SO.
Suy ra số mặt phẳng đối xứng của chóp bằng số trục đối xứng của đáy, tức là 4.
Những nhầm lẫn thường gặp
- Chọn 2: chỉ đếm hai mặt phẳng chứa đường chéo (SAC), (SBD) mà quên hai mặt phẳng qua trung điểm cạnh đáy.
- Chọn 5: tính thêm mặt đáy (ABCD). Mặt đáy không phải mặt phẳng đối xứng, vì đỉnh S nằm một phía còn phía kia không có điểm tương ứng.
- Chọn 8 hoặc 9: nhầm với hình lập phương hay hình bát diện đều, những khối có nhiều mặt phẳng đối xứng hơn.
Mẹo nhớ: chóp đều có đáy là n-giác đều thì số mặt phẳng đối xứng bằng n. Với n = 4 ta được 4.
So sánh với một số khối khác
| Hình | Số mặt phẳng đối xứng |
|---|---|
| Hình chóp tam giác đều (đáy tam giác đều, cạnh bên khác cạnh đáy) | 3 |
| Tứ diện đều | 6 |
| Hình chóp tứ giác đều | 4 |
| Hình chóp ngũ giác đều | 5 |
| Hình chóp lục giác đều | 6 |
Tứ diện đều cũng có 6 mặt phẳng, nhưng lý do khác: mỗi mặt phẳng chứa một cạnh và trung điểm cạnh đối diện, mà tứ diện có 6 cạnh.
Bài luyện tập
Bài 1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật (không phải hình vuông) và SA = SB = SC = SD. Hình chóp này có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Đáp án: 2. Chân đường cao là tâm O của hình chữ nhật. Hình chữ nhật chỉ có 2 trục đối xứng (hai đường nối trung điểm các cặp cạnh đối), nên có 2 mặt phẳng, mỗi mặt phẳng chứa SO và một trục đó. Hai đường chéo không phải trục đối xứng của hình chữ nhật.
Bài 2. Hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Đáp án: 6, vì lục giác đều có 6 trục đối xứng (3 đường chéo chính và 3 đường nối trung điểm cạnh đối).
Bài 3. Trong 4 mặt phẳng đối xứng của chóp tứ giác đều S.ABCD, mặt phẳng nào biến cạnh SA thành cạnh SB?
Đáp án: Mặt phẳng (SMP), với M, P là trung điểm AB, CD. Qua phép đối xứng này A ↔ B và S giữ nguyên nên SA ↔ SB.
Câu hỏi thường gặp
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Có 4 mặt phẳng đối xứng: (SAC), (SBD) và hai mặt phẳng đi qua S cùng trung điểm của các cặp cạnh đáy đối nhau.
Mặt đáy có phải là mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều không?
Không. Đỉnh S nằm ở một phía của mặt đáy, phía bên kia không có điểm đối xứng với S nên mặt đáy không phải mặt phẳng đối xứng.
Hình chóp tứ giác đều có tâm đối xứng không?
Không có. Hình chóp không có tâm đối xứng vì đỉnh S không có điểm đối xứng với nó qua bất kì điểm nào mà vẫn giữ nguyên hình.
Hình chóp đều có đáy n-giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Có n mặt phẳng đối xứng, mỗi mặt phẳng chứa đường cao và một trục đối xứng của đáy n-giác đều.