Trả lời nhanh
Hàm số mũ y = ax (a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là ℝ. Khi số mũ là biểu thức u(x), điều kiện chỉ nằm ở u(x) (và các căn, phân thức khác nếu có). Hàm logarit y = logau(x) cần u(x) > 0. Hàm lũy thừa y = u(x)α phụ thuộc α: nguyên dương thì không cần thêm điều kiện, nguyên âm hoặc bằng 0 thì u ≠ 0, không nguyên thì u > 0.
1. Bảng điều kiện cần nhớ
| Dạng hàm số | Điều kiện xác định |
|---|---|
| y = au(x) (a > 0, a ≠ 1) | u(x) xác định |
| y = logau(x) (0 < a ≠ 1) | u(x) > 0 |
| y = logv(x)u(x) (cơ số chứa x) | u(x) > 0; v(x) > 0; v(x) ≠ 1 |
| y = u(x)α, α nguyên dương | u(x) xác định |
| y = u(x)α, α nguyên âm hoặc α = 0 | u(x) ≠ 0 |
| y = u(x)α, α không nguyên (kể cả 1/3, √2, π, e) | u(x) > 0 |
Mẹo nhớ: “mũ thì thoải mái, logarit đòi dương, lũy thừa hỏi số mũ”. Với lũy thừa, việc đầu tiên là nhìn số mũ α thuộc loại nào.
2. Quy trình 4 bước
- Liệt kê mọi “vị trí nguy hiểm” trong biểu thức: mẫu số, căn bậc chẵn, biểu thức trong logarit, cơ số logarit chứa x, lũy thừa số mũ không nguyên.
- Viết điều kiện cho từng vị trí (dùng bảng ở trên).
- Giải từng điều kiện: bất phương trình bậc hai, phân thức, mũ, logarit.
- Lấy giao các tập nghiệm (vẽ trục số cho khỏi sót), rồi viết tập xác định D.
Với hàm số mũ, bước 1 thường chỉ còn các căn hoặc mẫu nằm ở chỗ khác; bản thân ax không gây ra điều kiện nào.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. y = (9 − x²)1/3 + log2(x − 1)
Số mũ 1/3 không nguyên nên 9 − x² > 0, tức −3 < x < 3. Logarit cần x − 1 > 0, tức x > 1. Giao hai điều kiện: D = (1; 3).
Ví dụ 2. y = (x² − x − 2)−3 + 5x
Số mũ −3 là số nguyên âm nên chỉ cần x² − x − 2 ≠ 0, tức x ≠ −1 và x ≠ 2. Hàm 5x không thêm điều kiện. D = ℝ \ {−1; 2}.
Ví dụ 3. y = (x − x²)e + 32x+1
Vì e là số vô tỉ nên x − x² > 0, tức x(1 − x) > 0, suy ra 0 < x < 1. D = (0; 1).
Ví dụ 4. y = 2019√(4 − x²) + log2(2x − 3)
Căn: 4 − x² ≥ 0 nên −2 ≤ x ≤ 2. Logarit: 2x − 3 > 0 nên x > 3/2. Giao: D = (3/2; 2]. Chú ý đầu mút 2 được lấy vì căn cho phép bằng 0, còn logarit không bị chặn ở đó.
Ví dụ 5. y = log2[(x − 3)/(x + 4)] + (4 − x)π
Logarit: (x − 3)/(x + 4) > 0 nên x < −4 hoặc x > 3. Lũy thừa số mũ π: 4 − x > 0 nên x < 4. Giao: D = (−∞; −4) ∪ (3; 4).
Ví dụ 6. y = 1 / log3(2x − 1)
Cần 2x − 1 > 0 (x > 1/2) và log3(2x − 1) ≠ 0, tức 2x − 1 ≠ 1, x ≠ 1. D = (1/2; +∞) \ {1}.
Ví dụ 7. y = logx−1(5 − x) (cơ số chứa x)
Điều kiện: x − 1 > 0, x − 1 ≠ 1 và 5 − x > 0. Tức x > 1, x ≠ 2, x < 5. D = (1; 2) ∪ (2; 5).
Ví dụ 8. y = √(3x − 9)
Cần 3x ≥ 9 = 32. Cơ số 3 > 1 nên giữ nguyên chiều: x ≥ 2. D = [2; +∞).
Ví dụ 9. y = √(log1/2(x − 1))
Cần x − 1 > 0 và log1/2(x − 1) ≥ 0 = log1/21. Cơ số 1/2 nhỏ hơn 1 nên đổi chiều: x − 1 ≤ 1, tức x ≤ 2. Kết hợp x > 1: D = (1; 2].
4. Dạng chứa tham số m
Đề thường hỏi: “tìm m để hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ”. Khi đó phải chuyển về bài toán dấu của tam thức bậc hai:
- ax² + bx + c > 0 với mọi x ⇔ a > 0 và Δ < 0 (hoặc a = 0, b = 0, c > 0).
- ax² + bx + c ≥ 0 với mọi x ⇔ a > 0 và Δ ≤ 0 (hoặc a = b = 0, c ≥ 0).
Ví dụ 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để y = ln(x² − 2mx + 9) xác định với mọi x ∈ ℝ?
Cần x² − 2mx + 9 > 0 với mọi x. Hệ số a = 1 > 0, nên Δ’ = m² − 9 < 0, tức −3 < m < 3. Các giá trị nguyên: −2, −1, 0, 1, 2. Có 5 giá trị.
Ví dụ 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [−10; 10] để y = log3(x² − 4x + m) xác định với mọi x ∈ ℝ?
Cần Δ’ = 4 − m < 0, tức m > 4. Với m nguyên trong [−10; 10]: m = 5, 6, 7, 8, 9, 10. Có 6 giá trị.
Ví dụ 12. Tìm m để y = ln(mx² − 2x + 1) xác định với mọi x ∈ ℝ
Xét m = 0: biểu thức thành 1 − 2x, chỉ dương khi x < 1/2, không thỏa. Xét m ≠ 0: cần m > 0 và Δ’ = 1 − m < 0, tức m > 1. Đáp số: m > 1. Nhiều bạn quên xét trường hợp hệ số a = 0 (ở đây nó bị loại, nhưng có bài lại được nhận).
5. Lỗi sai thường gặp
| Lỗi | Cách tránh |
|---|---|
| Cho rằng (x − 1)2/3 hay (x − 1)√2 xác định với mọi x | Số mũ không nguyên ⇒ cơ số phải > 0, tức x > 1 |
| Quên x ≠ 0 khi số mũ bằng 0 hoặc âm | Ví dụ x0 và x−2 đều có D = ℝ \ {0} |
| Không đổi chiều bất phương trình logarit khi cơ số trong (0; 1) | Ghi rõ cơ số lớn hay nhỏ hơn 1 trước khi bỏ log |
| Viết điều kiện u(x) ≥ 0 cho biểu thức trong logarit | Logarit luôn đòi u(x) > 0 (không có dấu bằng) |
| Quên cơ số khác 1 khi cơ số chứa x | Viết đủ ba điều kiện: v > 0, v ≠ 1, u > 0 |
| Gộp nghiệm bằng phép hợp thay vì giao | Các điều kiện cùng lúc phải thỏa ⇒ lấy giao |
6. Bài luyện tập (có đáp án)
- y = (x² − 5x + 6)−2.
- y = log2(x + 1) + √(3 − x).
- y = ln[(2 − x)/(x + 3)].
- y = (x − 2)√3 + log(5 − x).
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [−5; 5] để y = ln(x² + 2mx + 4) xác định với mọi x ∈ ℝ?
Đáp án và gợi ý.
- x² − 5x + 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2, x ≠ 3. D = ℝ \ {2; 3}.
- x + 1 > 0 và 3 − x ≥ 0 ⇒ −1 < x ≤ 3. D = (−1; 3].
- (2 − x)/(x + 3) > 0: lập bảng dấu, dương khi −3 < x < 2. D = (−3; 2).
- x − 2 > 0 (số mũ vô tỉ) và 5 − x > 0 ⇒ 2 < x < 5. D = (2; 5).
- Δ’ = m² − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 ⇒ m ∈ {−1; 0; 1}. Có 3 giá trị.
7. Học tiếp
Sau khi chắc phần tập xác định, bạn có thể luyện thêm các dạng liên quan:
- Phương pháp giải hàm số mũ và hàm số logarit (lý thuyết và bài tập)
- Dạng bài tập hàm số lũy thừa, mũ, logarit
- Bài tập về đồ thị hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
- 50 bài tập hàm số mũ, hàm số lôgarit có đáp án
- 100 câu trắc nghiệm hàm số mũ, hàm số lôgarit
- Giải Toán 12 bài 4: Hàm số mũ, hàm số lôgarit
Câu hỏi thường gặp
Tập xác định của hàm số mũ y = a^x là gì?
Với a > 0 và a ≠ 1, hàm số y = a^x xác định với mọi số thực x nên tập xác định là D = ℝ. Nếu số mũ là biểu thức u(x) thì tập xác định chính là tập xác định của u(x).
Khi nào hàm lũy thừa y = x^α có tập xác định là (0; +∞)?
Khi α không phải số nguyên, ví dụ 1/2, −1/3, √2 hoặc π. Nếu α nguyên dương thì D = ℝ; nếu α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D = ℝ \ {0}.
Điều kiện để hàm logarit log_a u(x) xác định là gì?
Làm sao tìm m để hàm logarit xác định với mọi x thuộc ℝ?
Đưa biểu thức trong logarit về dạng tam thức ax² + bx + c và yêu cầu nó dương với mọi x: a > 0 và Δ < 0. Đừng quên xét riêng trường hợp a = 0 nếu hệ số a chứa m.