Trả lời nhanh
Đặt g(x) = f(2 − x) thì g'(x) = −f'(2 − x). Hàm g đồng biến khi g'(x) ≥ 0, tức f'(2 − x) ≤ 0. Với đồ thị thường gặp của đề này (f’ âm khi x < −1, dương trên (−1; 1), âm trên (1; 4), dương khi x > 4), ta được g đồng biến trên (−2; 1) và (3; +∞). Nếu hình của bạn khác, hãy làm theo đúng các bước dưới đây.
Đề bài và hướng suy nghĩ
Đề cho hàm số y = f(x) và đồ thị của đạo hàm y = f'(x). Yêu cầu tìm khoảng mà y = f(2 − x) đồng biến. Chú ý: hình vẽ là đồ thị của f’, không phải của f, nên ta chỉ đọc được dấu của f'(x), không đọc được giá trị f(x).
Vì vậy ta đi theo con đường: đạo hàm hàm hợp → chuyển điều kiện về dấu của f’ → đọc dấu từ đồ thị → giải bất phương trình theo x.
Các bước giải
- Đặt hàm hợp: g(x) = f(2 − x).
- Tính đạo hàm: g'(x) = (2 − x)’ · f'(2 − x) = −f'(2 − x).
- Điều kiện đồng biến: g'(x) ≥ 0 ⇔ f'(2 − x) ≤ 0.
- Đọc đồ thị f’: tìm các giá trị t mà f'(t) ≤ 0 (phần đồ thị nằm dưới hoặc chạm trục hoành).
- Thay t = 2 − x rồi giải ra x.
Ví dụ minh hoạ với đồ thị thường gặp
Giả sử đồ thị f’ cắt trục hoành tại t = −1, t = 1, t = 4 và có dạng như hình dưới (đây là hình vẽ minh hoạ do chúng tôi tự dựng theo mô tả này).
| Khoảng của t | (−∞; −1) | (−1; 1) | (1; 4) | (4; +∞) |
|---|---|---|---|---|
| Dấu f'(t) | − | + | − | + |
Cần f'(2 − x) ≤ 0, tức t = 2 − x thuộc (−∞; −1] hoặc [1; 4]:
- 2 − x ≤ −1 ⇔ x ≥ 3.
- 1 ≤ 2 − x ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 1.
Kết luận: g(x) = f(2 − x) đồng biến trên (−2; 1) và (3; +∞). Nếu đề cho bốn phương án, chọn phương án nằm trọn trong một trong hai khoảng này; các phương án còn lại sẽ chứa điểm mà g’ < 0.
Lỗi sai thường gặp
- Quên dấu trừ khi đạo hàm (2 − x)’ = −1, dẫn đến lấy nhầm f'(2 − x) ≥ 0. Đây là lỗi phổ biến nhất.
- Giải bất phương trình sai chiều: khi đổi từ t sang x = 2 − t, bất đẳng thức đảo chiều. Hãy kiểm tra bằng cách thử một giá trị cụ thể, chẳng hạn x = 0 thì t = 2 ∈ (1; 4), f'(2) < 0 nên g'(0) = −f'(2) > 0 — khớp với kết quả (−2; 1).
- Nhầm đồ thị f’ với đồ thị f: chỗ đồ thị f’ cắt trục hoành mới là điểm đổi dấu, không phải chỗ đồ thị đạt cực trị.
Mẹo nhớ
Với g(x) = f(a − bx) (b > 0): đồ thị g là phép lấy đối xứng và co giãn của f, nên tăng ↔ giảm đổi vai nhau. Với g(x) = f(ax + b) (a > 0) thì giữ nguyên chiều biến thiên, chỉ dịch và co giãn khoảng.
Bài luyện tập
Bài 1. Cho f'(x) > 0 trên (−3; 0) và (2; +∞), f'(x) < 0 ở các khoảng còn lại. Hàm h(x) = f(−x) đồng biến trên những khoảng nào?
Đáp án: h'(x) = −f'(−x) > 0 ⇔ f'(−x) < 0 ⇔ −x < −3 hoặc 0 < −x < 2 ⇔ x > 3 hoặc −2 < x < 0. Vậy h đồng biến trên (−2; 0) và (3; +∞).
Bài 2. Với đồ thị f’ ở ví dụ trên, hàm g(x) = f(2 − x) nghịch biến trên những khoảng nào?
Đáp án: g’ < 0 ⇔ f'(2 − x) > 0 ⇔ −1 < 2 − x < 1 hoặc 2 − x > 4 ⇔ 1 < x < 3 hoặc x < −2. Vậy g nghịch biến trên (1; 3) và (−∞; −2).
Bài 3. Cũng với f’ ở ví dụ, tìm khoảng đồng biến của k(x) = f(x + 1).
Đáp án: k'(x) = f'(x + 1) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x + 1 ≤ 1 hoặc x + 1 ≥ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0 hoặc x ≥ 3. Vậy k đồng biến trên (−2; 0) và (3; +∞).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao g'(x) = −f'(2 − x) mà không phải f'(2 − x)?
Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp, g'(x) = f'(2 − x) · (2 − x)' và (2 − x)' = −1, nên g'(x) = −f'(2 − x).
Đồ thị cho là của f'(x) thì đọc được gì?
Ta đọc được dấu của f'(x): phần đồ thị nằm trên trục hoành thì f' dương, nằm dưới thì f' âm. Từ đó suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của f, không đọc trực tiếp giá trị f.
Hàm f(2 − x) đồng biến khi nào?
Khi f'(2 − x) ≤ 0 (dấu bằng chỉ tại các điểm rời rạc). Ta giải 2 − x thuộc các khoảng mà f' không dương rồi suy ra x.
Làm sao kiểm tra nhanh kết quả?
Lấy một giá trị x thuộc khoảng tìm được, tính t = 2 − x, xem dấu f'(t) trên đồ thị: nếu f'(t) âm thì g'(x) dương, kết quả hợp lý.