Trả lời nhanh
Hàm số nghịch biến trên R phải xác định trên toàn R và có y’ ≤ 0 với mọi x (dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm). Thường gặp: hàm bậc nhất y = ax + b với a < 0, hàm bậc ba có a < 0 và Δ’ ≤ 0, hàm mũ y = ax với 0 < a < 1. Hàm phân thức và hàm trùng phương thì không bao giờ thoả.
Đề gốc của câu này có bốn phương án cụ thể, nhưng cách làm thì luôn giống nhau. Dưới đây là phương pháp loại trừ để bạn áp dụng cho bất kì bộ phương án nào. Các hàm số trong bài là ví dụ do mình tự đặt để minh hoạ.
Điều kiện để hàm số nghịch biến trên R
- Hàm số y = f(x) xác định trên R.
- f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc R, và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Chú ý điều kiện đầu tiên: hàm không xác định trên cả R thì loại ngay, dù đạo hàm có âm.
Loại trừ nhanh theo từng dạng hàm
| Dạng hàm | Nghịch biến trên R khi nào? |
|---|---|
| y = ax + b | a < 0 |
| y = ax³ + bx² + cx + d | a < 0 và b² − 3ac ≤ 0 |
| y = ax | 0 < a < 1 |
| y = (ax + b)/(cx + d) | Không bao giờ (TXĐ bị mất một điểm) |
| y = ax⁴ + bx² + c | Không bao giờ (đạo hàm bậc ba đổi dấu) |
| y = logax, y = √x | Không (TXĐ không phải R) |
Vì sao hàm bậc ba cần a < 0 và Δ’ ≤ 0?
Đạo hàm y’ = 3ax² + 2bx + c là tam thức bậc hai. Để y’ ≤ 0 với mọi x, hệ số của x² phải âm (3a < 0) và biệt thức thu gọn Δ’ = b² − 3ac ≤ 0 để tam thức không đổi dấu sang dương.
Ví dụ minh hoạ (tự đặt)
Ví dụ 1. Trong các hàm: y = −2x + 5; y = x³ + x; y = (x − 1)/(x + 2); y = 2x, hàm nào nghịch biến trên R?
- y = −2x + 5: hệ số a = −2 < 0 → nghịch biến trên R. Chọn.
- y = x³ + x: y’ = 3x² + 1 > 0 → đồng biến, loại.
- y = (x − 1)/(x + 2): không xác định tại x = −2, loại.
- y = 2x: cơ số 2 > 1 → đồng biến, loại.
Ví dụ 2. Hàm y = −x³ − x có y’ = −3x² − 1 < 0 với mọi x nên nghịch biến trên R. Còn y = −x + sin x có y’ = −1 + cos x ≤ 0, dấu “=” chỉ tại các điểm x = k·2π rời rạc, nên vẫn nghịch biến trên R.
Ví dụ 3 (có tham số). Tìm m để y = −x³ + mx² − 3x + 1 nghịch biến trên R.
y’ = −3x² + 2mx − 3. Cần y’ ≤ 0 với mọi x: hệ số −3 < 0 đã thoả, ta chỉ cần Δ’ = m² − 9 ≤ 0, tức −3 ≤ m ≤ 3. Có 7 giá trị nguyên của m (từ −3 đến 3).
Lỗi sai thường gặp
- Bỏ qua tập xác định: thấy y’ < 0 là chọn ngay, quên rằng hàm phân thức chỉ nghịch biến trên từng khoảng.
- Loại nhầm trường hợp y’ = 0: hàm y = −(x − 1)³ có y’ = −3(x − 1)² ≤ 0, bằng 0 chỉ tại x = 1, vẫn nghịch biến trên R.
- Nhầm hàm mũ: y = (√3 − √2)x có cơ số khoảng 0,32 nằm trong (0; 1) nên nghịch biến; y = (√3 + √2)x thì đồng biến.
- Nhầm điều kiện tham số bậc nhất: y = (m − 2)x + 1 nghịch biến khi m < 2, không có dấu “=” vì m = 2 cho hàm hằng.
Mẹo nhớ
Hãy hình dung đồ thị “đi xuống từ trái sang phải” trên toàn trục hoành. Hàm bậc ba đi xuống khi hệ số a âm và không có “khúc lượn” lên (Δ’ ≤ 0). Hàm có một điểm gián đoạn hay đường tiệm cận đứng thì đồ thị bị đứt, không thể là nghịch biến trên cả R.
Bài luyện tập
- Tìm m để y = (1 − 2m)x + 3 nghịch biến trên R.
Đáp án: 1 − 2m < 0 ⇔ m > 1/2. - Hàm y = −x³ + 3x² − 3x + 1 có nghịch biến trên R không?
Đáp án: Có. y’ = −3(x − 1)² ≤ 0, bằng 0 chỉ tại x = 1. - Tìm m nguyên để y = −x³ + 3x² + mx nghịch biến trên R.
Đáp án: y’ = −3x² + 6x + m ≤ 0 ∀x ⇔ Δ’ = 9 + 3m ≤ 0 ⇔ m ≤ −3; m nguyên nhỏ hơn hoặc bằng −3 (có vô số giá trị).
Câu hỏi thường gặp
Hàm số nghịch biến trên R có thể có y' = 0 không?
Có, miễn là y' = 0 chỉ tại hữu hạn điểm và y' ≤ 0 ở mọi nơi còn lại. Ví dụ y = −(x − 1)³ có y' = 0 tại x = 1 nhưng vẫn nghịch biến trên R.
Hàm phân thức y = (ax + b)/(cx + d) có nghịch biến trên R không?
Không. Hàm này không xác định tại x = −d/c nên chỉ có thể nghịch biến trên từng khoảng xác định, không phải trên toàn R.
Hàm mũ nào nghịch biến trên R?
Hàm y = a^x với 0 < a 1 hàm đồng biến trên R.
Hàm bậc ba nghịch biến trên R khi nào?
Khi hệ số a < 0 và biệt thức thu gọn của đạo hàm thoả b² − 3ac ≤ 0, tức y' ≤ 0 với mọi x.