Trả lời nhanh
Hình tứ diện có 6 cạnh. Nếu đề cho các phương án 4, 5, 6 thì chọn 6. Lý do: tứ diện có 4 đỉnh, cứ nối hai đỉnh bất kì bằng một đoạn thẳng thì được một cạnh, nên số cạnh là C(4,2) = 6. Ngoài ra, hình còn có 4 mặt đều là tam giác.
Hình tứ diện là gì?
Hình tứ diện ABCD là hình gồm bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng, cùng với bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Bốn điểm đó là các đỉnh, sáu đoạn thẳng nối từng cặp đỉnh là các cạnh, bốn tam giác là các mặt.
Chữ “tứ” nghĩa là bốn, “diện” nghĩa là mặt. Tên gọi đã cho ta biết hình có 4 mặt. Tứ diện cũng chính là hình chóp tam giác: chọn một đỉnh làm đỉnh chóp thì ba đỉnh còn lại tạo thành tam giác đáy.
Cách đếm 6 cạnh
Có ba cách đếm, em chọn cách nào thấy dễ nhất cũng được.
Cách 1: Liệt kê trực tiếp
Với tứ diện ABCD, các cạnh là: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Đếm được đúng 6 cạnh. Nên liệt kê theo thứ tự: bắt đầu từ A (3 cạnh), sang B (còn BC, BD), cuối cùng là CD.
Cách 2: Dùng số cặp đỉnh
Hai đỉnh bất kì của tứ diện luôn được nối bởi một cạnh. Số cách chọn 2 đỉnh trong 4 đỉnh là C(4,2) = 4·3/2 = 6. Vậy có 6 cạnh.
Cách 3: Đếm theo mặt
Mỗi mặt là tam giác có 3 cạnh, 4 mặt cho 4·3 = 12 cạnh. Nhưng mỗi cạnh được tính cho 2 mặt kề nhau, nên số cạnh thật là 12 : 2 = 6.
Kiểm tra bằng công thức Euler
Với khối đa diện lồi, số đỉnh Đ, số cạnh C, số mặt M luôn thoả Đ − C + M = 2. Với tứ diện: 4 − 6 + 4 = 2. Công thức đúng, chứng tỏ kết quả 6 cạnh là hợp lí.
| Yếu tố | Số lượng |
|---|---|
| Đỉnh | 4 |
| Cạnh | 6 |
| Mặt (tam giác) | 4 |
| Cạnh xuất phát từ mỗi đỉnh | 3 |
| Cặp cạnh đối diện (chéo nhau) | 3 |
Loại trừ các phương án 4 và 5
- 4 cạnh: sai, vì 4 là số đỉnh và số mặt của tứ diện. Đây là chỗ học sinh hay nhầm khi nghe chữ “tứ”.
- 5 cạnh: sai, vì nếu chỉ có 5 cạnh thì có một cặp đỉnh không được nối, khi đó bốn điểm sẽ tạo thành hình phẳng chứ không phải một khối.
- 6 cạnh: đúng, như đã chứng minh ở ba cách đếm trên.
Mở rộng: các cặp cạnh trong tứ diện
Tứ diện có 6 cạnh nên có C(6,2) = 15 cặp cạnh. Trong đó:
- 12 cặp cạnh cắt nhau tại một đỉnh (mỗi đỉnh có 3 cạnh, tạo C(3,2) = 3 cặp; 4 đỉnh cho 4·3 = 12 cặp);
- 3 cặp cạnh đối diện, chéo nhau: AB và CD, AC và BD, AD và BC.
Kiểm tra: 12 + 3 = 15. Đây là kiến thức hay dùng khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian ở lớp 11.
Lỗi sai thường gặp
- Quên cạnh nét đứt ở phía sau hình vẽ nên chỉ đếm được 5 cạnh. Trong hình, cạnh BD bị che khuất nhưng vẫn là một cạnh thật.
- Nhầm tứ diện với hình chóp tứ giác. Hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác nên có 8 cạnh.
- Nhầm “tứ diện đều” với “tứ diện bất kì”. Số cạnh đều là 6; tứ diện đều chỉ có thêm điều kiện cả 6 cạnh bằng nhau.
Mẹo nhớ
Nhớ bộ ba 4 – 6 – 4 theo thứ tự đỉnh – cạnh – mặt. Hoặc nhớ: “mỗi đỉnh nối với 3 đỉnh còn lại, 4 đỉnh × 3 = 12, chia 2 vì mỗi cạnh có hai đầu, được 6”.
Bài luyện tập
- Hình chóp tứ giác S.ABCD có bao nhiêu cạnh, bao nhiêu mặt?
Đáp án: 8 cạnh (4 cạnh bên + 4 cạnh đáy), 5 mặt (4 mặt bên + 1 đáy). - Hình chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có bao nhiêu cạnh? Áp dụng với n = 3.
Đáp án: 2n cạnh. Với n = 3 được 6 cạnh, đúng bằng số cạnh của tứ diện. - Trong tứ diện ABCD, cạnh AB chéo nhau với cạnh nào?
Đáp án: chỉ chéo nhau với cạnh đối CD, vì AB cắt AC, AD, BC, BD tại các đỉnh chung.
Câu hỏi thường gặp
Hình tứ diện có bao nhiêu cạnh, bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu mặt?
Hình tứ diện có 6 cạnh, 4 đỉnh và 4 mặt. Cả bốn mặt đều là tam giác.
Tứ diện đều có bao nhiêu cạnh?
Tứ diện đều cũng có 6 cạnh. Điểm khác là cả 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Hình chóp tam giác có phải là hình tứ diện không?
Có. Hình chóp tam giác có 4 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt nên chính là hình tứ diện. Bất kì mặt nào cũng có thể coi là mặt đáy.
Tứ diện có bao nhiêu cặp cạnh chéo nhau?
Có 3 cặp cạnh chéo nhau, đó là các cặp cạnh đối: AB và CD, AC và BD, AD và BC.