Giải bài tập cuối chương 4 Toán 10 Kết nối tri thức (Bài 4.27 – 4.39)

Kiến thức cần nhớ trước khi làm bài

Gần như cả chương 4 chỉ cần mấy công thức dưới đây. Các em nên thuộc lòng trước rồi hẵng làm bài.

Nội dung	Công thức (với a→ = (x; y), b→ = (x’; y’))
Cùng phương	x.y’ − x’.y = 0
Tích vô hướng	a→.b→ = x.x’ + y.y’ = |a→|.|b→|.cos(a→, b→)
Vuông góc	a→ ⊥ b→ ⇔ x.x’ + y.y’ = 0
Độ dài	|a→| = √(x2 + y2)
Trọng tâm G của tam giác ABC	xG = (xA + xB + xC)/3, yG tính tương tự

Muốn ôn kỹ hơn, các em xem Lý thuyết Chương 4: Vectơ.

A. Trắc nghiệm (trang 71)

Lời giải theo từng trang: Giải Toán 10 trang 71 Tập 1.

Bài 4.27: Cặp vectơ cùng phương

Đề hỏi cặp nào cùng phương: A. u→ = (2; 3), v→ = (1/2; 6); B. a→ = (√2; 6), b→ = (1; 3√2); C. i→ = (0; 1), j→ = (1; 0); D. c→ = (1; 3), d→ = (2; −6).

• A: 2.6 − 3.(1/2) = 12 − 1,5 ≠ 0 → không cùng phương.
• B: √2.3√2 − 6.1 = 6 − 6 = 0 → cùng phương. Thật ra a→ = √2.b→ nên hai vectơ còn cùng hướng.
• C: 0.0 − 1.1 = −1 ≠ 0. Hai vectơ này vuông góc với nhau.
• D: 1.(−6) − 3.2 = −12 ≠ 0. Chỗ dễ nhầm là d→ có tung độ −6, không phải 6.

Đáp án B.

Bài 4.28: Cặp vectơ vuông góc

• A: (2; 3).(4; 6) = 8 + 18 = 26 ≠ 0. Hai vectơ này cùng phương, vì v→ = 2u→.
• B: (1; −1).(−1; 1) = −1 − 1 = −2 ≠ 0. Đây là hai vectơ đối nhau.
• C: (a; b).(−b; a) = −ab + ba = 0 → vuông góc.
• D: (1; 1).(2; 0) = 2 ≠ 0.

Đáp án C. Mẹo nhớ: đổi chỗ hai toạ độ rồi đổi dấu một toạ độ, ta luôn được một vectơ vuông góc với vectơ ban đầu. Mẹo này dùng rất nhiều khi viết phương trình đường thẳng ở chương 7.

Bài 4.29: Vectơ có độ dài bằng 1

• A: |(1; 1)| = √2. Loại.
• B: |(1; −1)| = √2. Loại.
• C: |(2; 1/2)| = √(4 + 1/4) = √17/2. Loại.
• D: |(1/√2; −1/√2)| = √(1/2 + 1/2) = 1. Thoả mãn.

Đáp án D.

Bài 4.30: Góc giữa a→ = (1; −1) và b→ = (−2; 0)

Ta có a→.b→ = 1.(−2) + (−1).0 = −2; |a→| = √2; |b→| = 2.

cos(a→, b→) = −2/(√2.2) = −√2/2, suy ra (a→, b→) = 135°. Đáp án C.

Lỗi hay gặp: thấy cos có giá trị √2/2 thì chọn ngay 45°. Tích vô hướng âm nghĩa là góc tù, nên chỉ có thể là 135°.

Bài 4.31: Khẳng định đúng về tích vô hướng

• A sai: (a→.b→)c→ là một vectơ cùng phương với c→, còn a→(b→.c→) là một vectơ cùng phương với a→. Nói chung hai vectơ này khác nhau, tức là tích vô hướng không có tính “kết hợp” kiểu này.
• B sai: (a→.b→)² = a→².b→².cos²(a→, b→). Đẳng thức chỉ xảy ra khi hai vectơ cùng phương.
• C sai: trong công thức là cos, không phải sin.
• D đúng: đây là tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép trừ.

Đáp án D.

Bài 4.32: Hình vuông ABCD cạnh a

Muốn tìm góc giữa hai vectơ, ta phải đưa chúng về chung điểm gốc. Áp dụng vào từng phương án:

• A: Vẽ BE→ = AB→, tức là kéo dài AB về phía B. Khi đó (AB→, BD→) = góc EBD = 180° − 45° = 135°. Sai.
• B: Hai vectơ AC→ và BC→ cùng có điểm cuối C. Góc giữa chúng bằng góc ACB = 45°. Suy ra AC→.BC→ = a√2.a.cos45° = a². Đúng.
• C: Hai đường chéo vuông góc nên AC→.BD→ = 0. Sai.
• D: (BA→, BD→) = 45° nên BA→.BD→ = a.a√2.(√2/2) = a², không phải −a². Sai.

Đáp án B.

B. Tự luận (trang 71 – 72)

Lời giải theo trang: Giải Toán 10 trang 72 Tập 1.

Bài 4.33: M trên cạnh BC, MB = 3MC

a) M nằm giữa B và C nên hai vectơ MB→ và MC→ ngược hướng. Độ dài MB gấp 3 lần MC, vì vậy MB→ = −3MC→.

b) Từ MB = 3MC suy ra BM = (3/4)BC, nghĩa là BM→ = (3/4)BC→. Ta biến đổi:

AM→ = AB→ + BM→ = AB→ + (3/4)(AC→ − AB→) = (1/4)AB→ + (3/4)AC→.

Kiểm tra nhanh: hai hệ số cộng lại bằng 1, và hệ số của AC→ lớn hơn vì M gần C hơn. Kết quả hợp lý.

Bài 4.34: Hình bình hành ABCD, chứng minh MA→ + MC→ = MB→ + MD→

Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Khi đó O là trung điểm của AC và cũng là trung điểm của BD.

• Theo tính chất trung điểm: MA→ + MC→ = 2MO→.
• Tương tự: MB→ + MD→ = 2MO→.

Suy ra MA→ + MC→ = MB→ + MD→ với mọi điểm M. Có thể giải cách khác: chuyển vế thành MA→ − MB→ = MD→ − MC→, tức BA→ = CD→. Đẳng thức này đúng vì ABCD là hình bình hành.

Bài 4.35: A(2; 1), B(−2; 5), C(−5; 2)

a) BA→ = (2 − (−2); 1 − 5) = (4; −4); BC→ = (−5 − (−2); 2 − 5) = (−3; −3).

b) BA→.BC→ = 4.(−3) + (−4).(−3) = −12 + 12 = 0. Vậy BA ⊥ BC, tức tam giác ABC vuông tại B.

• BA = √(16 + 16) = 4√2; BC = √(9 + 9) = 3√2; AC→ = (−7; 1) nên AC = √50 = 5√2.
• Diện tích: S = (1/2).4√2.3√2 = 12 (đvdt).
• Chu vi: 4√2 + 3√2 + 5√2 = 12√2.

Để ý ba cạnh tỉ lệ 3 : 4 : 5, đúng với định lí Pythagore.

c) G((2 − 2 − 5)/3; (1 + 5 + 2)/3) = (−5/3; 8/3).

d) Tứ giác BCAD là hình bình hành khi và chỉ khi BC→ = DA→. Gọi D(x; y), ta có (−3; −3) = (2 − x; 1 − y), suy ra x = 5, y = 4. Vậy D(5; 4).

Lưu ý: thứ tự các đỉnh quyết định cặp vectơ bằng nhau. Nếu viết nhầm thành BC→ = AD→, các em sẽ được một điểm D sai.

Bài 4.36: A(1; 2), B(3; 4), C(−1; −2), D(6; 5)

a) AB→ = (2; 2); CD→ = (7; 7).

b) CD→ = (7/2)AB→, nên hai vectơ cùng phương (và cùng hướng).

c) E(a; 1). Ta có AC→ = (−2; −4) và BE→ = (a − 3; −3). Hai vectơ cùng phương khi:

(−2).(−3) − (−4).(a − 3) = 0 ⇔ 6 + 4a − 12 = 0 ⇔ a = 3/2.

d) Với E(3/2; 1), ta có AE→ = (1/2; −1). Đặt AE→ = xAB→ + yAC→, được hệ:

• 2x − 2y = 1/2
• 2x − 4y = −1

Trừ vế theo vế được 2y = 3/2, suy ra y = 3/4 và x = 1. Vậy AE→ = AB→ + (3/4)AC→.

Bài 4.37: Chứng minh a→/|a→| là vectơ đơn vị cùng hướng với a→

Đặt k = 1/|a→|. Vì a→ ≠ 0→ nên |a→| > 0, do đó k > 0.

• Độ dài: |ka→| = |k|.|a→| = (1/|a→|).|a→| = 1. Vậy đây là vectơ đơn vị.
• Hướng: vì k > 0 nên ka→ cùng hướng với a→.

Ứng dụng: vectơ (3; 4) có độ dài 5, nên vectơ đơn vị cùng hướng với nó là (3/5; 4/5).

Bài 4.38: Toạ độ của u→ trong hệ có i→ = a→, j→ = b→

a) Giả sử u→ = (x; y) trong hệ Oxy, nghĩa là u→ = xi→ + yj→ = xa→ + yb→. Ta có a→.a→ = |a→|² = 1 và a→.b→ = 0 (vì a→ ⊥ b→). Do đó:

• u→.a→ = x.a→.a→ + y.b→.a→ = x.1 + y.0 = x;
• u→.b→ = x.a→.b→ + y.b→.b→ = 0 + y = y.

Vậy u→ có toạ độ (u→.a→; u→.b→).

b) Thay x, y vừa tìm được vào u→ = xa→ + yb→, ta có u→ = (u→.a→)a→ + (u→.b→)b→.

Ý nghĩa: mỗi toạ độ của vectơ chính là “hình chiếu” của vectơ đó lên trục tương ứng, và được tính bằng tích vô hướng với vectơ đơn vị của trục.

Bài 4.39: Vận tốc riêng của ca nô

Đề cho: ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15°E với vận tốc 20 km/h, dòng nước chảy về hướng đông với vận tốc 4 km/h. Cần tìm vận tốc riêng của ca nô.

Gọi v→ là vận tốc thực của ca nô (so với bờ), w→ là vận tốc dòng nước và v→_r là vận tốc riêng. Ta có v→ = v→_r + w→, suy ra v→_r = v→ − w→.

Chọn trục Ox hướng đông, Oy hướng bắc. Hướng S15°E nghĩa là lệch từ hướng nam sang phía đông một góc 15°, do đó:

• v→ = (20sin15°; −20cos15°) ≈ (5,176; −19,319);
• w→ = (4; 0);
• v→_r ≈ (1,176; −19,319).

Độ lớn: |v→_r| ≈ √(1,384 + 373,205) ≈ 19,35 km/h.

Kiểm tra lại bằng định lí côsin: góc giữa v→ và w→ là 90° − 15° = 75°, nên |v→_r|² = 20² + 4² − 2.20.4.cos75° ≈ 374,59. Kết quả khớp với cách tính bằng toạ độ.

Hướng của v→_r: tan góc lệch so với hướng nam = 1,176/19,319 ≈ 0,061, tức góc lệch khoảng 3,5°. Vậy vận tốc riêng khoảng 19,35 km/h, theo hướng xấp xỉ S3,5°E.

Những lỗi sai thường gặp trong chương 4

1. Tính góc giữa hai vectơ mà không đưa về chung gốc (Bài 4.32A).
2. Thấy cos mang dấu âm nhưng vẫn chọn góc nhọn (Bài 4.30).
3. Đặt sai thứ tự các đỉnh khi lập điều kiện hình bình hành (Bài 4.35d).
4. Viết toạ độ vectơ AB→ thành A − B thay vì B − A (lấy điểm cuối trừ điểm đầu).
5. Nhầm hai vectơ “cùng phương” với “cùng hướng”: cùng phương còn bao gồm cả trường hợp ngược hướng.

Bài luyện tập tự kiểm tra

Bài 1. Tìm m để u→ = (m; 4) và v→ = (2; m) cùng hướng.

Đáp án: Điều kiện cùng phương là m.m − 4.2 = 0, suy ra m = ±2√2. Để cùng hướng, các toạ độ tương ứng phải cùng dấu, nên m = 2√2.

Bài 2. Cho A(1; 1), B(4; 5), C(5; −2). Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích.

Đáp án: AB→ = (3; 4) và AC→ = (4; −3), có tích vô hướng 12 − 12 = 0, nên tam giác vuông tại A. AB = AC = 5, suy ra S = 12,5 (đvdt). Tam giác này còn là tam giác vuông cân.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh 2. Tính AB→.AC→.

Đáp án: AB→.AC→ = 2.2√2.cos45° = 4.

Muốn luyện thêm, các em làm 30 câu trắc nghiệm Chương 4: Vectơ và SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4.

Điều hướng

• Bài trước: Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ
• Bài tiếp theo: Bài 12: Số gần đúng và sai số
• Mục lục: Giải SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Câu hỏi thường gặp

Bài tập cuối chương 4 Toán 10 Kết nối tri thức gồm những bài nào?

Có 13 bài, từ 4.27 đến 4.39, nằm ở trang 71–72 SGK Toán 10 tập 1. Bài 4.27–4.32 là trắc nghiệm, bài 4.33–4.39 là tự luận.

Đáp án phần trắc nghiệm cuối chương 4 là gì?

4.27 – B, 4.28 – C, 4.29 – D, 4.30 – C, 4.31 – D, 4.32 – B.

Làm sao kiểm tra nhanh hai vectơ cùng phương bằng toạ độ?

Với a→ = (x; y) và b→ = (x'; y'), hai vectơ cùng phương khi x.y' − x'.y = 0. Viết theo dạng này thì không phải lo trường hợp mẫu số bằng 0 như khi lập tỉ số.

Bài 4.39 tính ra vận tốc riêng của ca nô bằng bao nhiêu?

Vận tốc riêng bằng hiệu giữa vận tốc thực và vận tốc dòng nước, có độ lớn khoảng 19,35 km/h, theo hướng xấp xỉ S3,5°E.

Bài học liên quan

• Giải SGK Toán 10 Bài 10 (Kết nối tri thức): Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
• Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác Toán 10 Kết nối tri thức
• Chuyên đề Toán 10 Chân trời sáng tạo: Giải bài tập Chuyên đề học tập
• Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Chân trời sáng tạo) Toán 10
• Cho hình vuông ABCD cạnh a, tính P = AC·(CD + CA)
• Lý thuyết Các số đặc trưng đo độ phân tán – Toán 10 Kết nối tri thức