Trả lời nhanh
Muốn làm tốt bài tập hình bình hành lớp 8, các em cần nắm hai nhóm kiến thức. Thứ nhất là tính chất: các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hai góc kề một cạnh có tổng 180°. Thứ hai là 5 dấu hiệu nhận biết. Bài viết có 15 bài tập chia theo dạng, giải chi tiết từng bài, kèm 3 bài tự luyện có đáp số.
Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Như vậy, hình bình hành là một trường hợp đặc biệt của hình thang (có hai cặp cạnh song song).
Tính chất. Trong hình bình hành ABCD:
- Các cạnh đối bằng nhau: AB = CD, AD = BC.
- Các góc đối bằng nhau: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường: OA = OC, OB = OD.
- Hệ quả: hai góc kề một cạnh bù nhau, chẳng hạn ∠A + ∠B = 180° (vì là hai góc trong cùng phía).
Dấu hiệu nhận biết. Một tứ giác là hình bình hành nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:
| STT | Dấu hiệu | Khi nào nên dùng |
|---|---|---|
| 1 | Các cạnh đối song song | Đề cho nhiều đường song song |
| 2 | Các cạnh đối bằng nhau | Đề cho độ dài hoặc chứng minh được các cặp tam giác bằng nhau |
| 3 | Có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau | Hay dùng nhất, vì chỉ cần xét một cặp cạnh |
| 4 | Các góc đối bằng nhau | Đề cho số đo góc |
| 5 | Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường | Đề có trung điểm hoặc có “lấy điểm đối xứng” |
Muốn xem lý thuyết đầy đủ hơn, các em đọc bài Lý thuyết Hình bình hành.
Dạng 1: Tính góc của hình bình hành
Phương pháp: dùng hai ý “góc đối bằng nhau” và “hai góc kề một cạnh có tổng 180°”. Nhờ hai ý này, chỉ cần biết một góc là tính được ba góc còn lại.
Bài 1
Cho hình bình hành ABCD có ∠A = 70°. Tính các góc còn lại.
Lời giải: ∠C = ∠A = 70° (hai góc đối nhau). ∠A + ∠B = 180° (hai góc kề cạnh AB), nên ∠B = 110°. Suy ra ∠D = ∠B = 110°.
Kiểm tra lại: 70° + 110° + 70° + 110° = 360°, khớp với tổng các góc của một tứ giác.
Bài 2
Hình bình hành ABCD có ∠A − ∠B = 40°. Tính các góc của hình bình hành.
Lời giải: Ta có ∠A + ∠B = 180° và ∠A − ∠B = 40°. Suy ra ∠A = (180° + 40°) : 2 = 110° và ∠B = 70°. Vậy ∠C = ∠A = 110°, ∠D = ∠B = 70°.
Bài 3
Hình bình hành MNPQ có ∠M : ∠N = 3 : 2. Tính các góc.
Lời giải: ∠M + ∠N = 180°, chia thành 3 + 2 = 5 phần, mỗi phần 36°. Suy ra ∠M = 108°, ∠N = 72°. Do đó ∠P = 108° và ∠Q = 72°.
Dạng 2: Tính độ dài cạnh, đường chéo, chu vi
Bài 4
Hình bình hành ABCD có chu vi 36 cm và AB = 2BC. Tính độ dài các cạnh.
Lời giải: Vì AB = CD và BC = AD nên chu vi bằng 2(AB + BC) = 36, suy ra AB + BC = 18 cm. Thay AB = 2BC vào được 3BC = 18, nên BC = 6 cm và AB = 12 cm. Vậy AB = CD = 12 cm, BC = AD = 6 cm.
Bài 5
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết AC = 10 cm, BD = 14 cm, AB = 6 cm. Tính chu vi tam giác OAB và tam giác OCD.
Lời giải: O là trung điểm của mỗi đường chéo, nên OA = OC = 5 cm và OB = OD = 7 cm. Chu vi tam giác OAB là 5 + 7 + 6 = 18 (cm). Vì CD = AB = 6 cm nên chu vi tam giác OCD cũng bằng 5 + 7 + 6 = 18 (cm).
Bài 6 (hay gặp trong đề kiểm tra)
Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 5 cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh CD tại E. Tính DE và EC.
Lời giải:
- AE là tia phân giác góc A nên ∠DAE = ∠EAB.
- Vì AB // CD nên ∠AED = ∠EAB (hai góc so le trong).
- Từ hai ý trên suy ra ∠DAE = ∠AED, nên tam giác ADE cân tại D. Do đó DE = AD = 5 cm.
- Lại có CD = AB = 8 cm, nên EC = 8 − 5 = 3 (cm).
Mẹo nhớ: “Phân giác cộng song song thì sinh ra tam giác cân.” Gặp đề có cả tia phân giác lẫn hai đường song song, các em nên đi tìm tam giác cân trước tiên.
Dạng 3: Nhận biết tứ giác là hình bình hành
Bài 7
Tứ giác ABCD có ∠A = ∠C = 115°, ∠B = 65°. Tứ giác này có phải là hình bình hành không?
Lời giải: ∠D = 360° − (115° + 115° + 65°) = 65°, nên ∠B = ∠D. Tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau nên ABCD là hình bình hành (dấu hiệu 4).
Bài 8 (bài “bẫy”)
Mỗi tứ giác sau có chắc chắn là hình bình hành không?
- Tứ giác EFGH có EF = GH = 5 cm, FG = HE = 8 cm.
- Tứ giác ABCD có AB // CD và AD = BC.
Lời giải:
- Có. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau thì là hình bình hành (dấu hiệu 2).
- Chưa chắc. Ở đây cặp cạnh song song (AB, CD) và cặp cạnh bằng nhau (AD, BC) không phải là cùng một cặp. Hình thang cân ABCD (đáy AB, CD) cũng thoả mãn điều kiện này nhưng không phải là hình bình hành. Dấu hiệu 3 đòi hỏi cùng một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
Bài 9
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh tứ giác ABDC là hình bình hành.
Lời giải: Tứ giác ABDC có hai đường chéo là AD và BC. Hai đường này cắt nhau tại M, với M là trung điểm của BC (giả thiết) và cũng là trung điểm của AD (vì MA = MD và D nằm trên tia đối của tia MA). Vậy ABDC là hình bình hành (dấu hiệu 5).
Ghi nhớ: cách “kéo dài trung tuyến một đoạn bằng chính nó” rất hay được dùng để tạo ra hình bình hành, từ đó chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau hoặc song song.
Dạng 4: Chứng minh hình học
Bài 10
Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Một đường thẳng đi qua O cắt AD tại E và cắt BC tại F. Chứng minh OE = OF, từ đó suy ra AECF là hình bình hành.
Lời giải: Xét tam giác OAE và tam giác OCF, ta có:
- OA = OC (O là trung điểm AC);
- ∠OAE = ∠OCF (so le trong, vì AD // BC);
- ∠AOE = ∠COF (hai góc đối đỉnh).
Do đó ΔOAE = ΔOCF (g.c.g), suy ra OE = OF. Tứ giác AECF có hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại O, mà O là trung điểm của cả hai đường, nên AECF là hình bình hành.
Bài 11
Cho hình bình hành ABCD. Lấy E trên cạnh AB và F trên cạnh CD sao cho AE = CF. Chứng minh DEBF là hình bình hành.
Lời giải: Ta có EB = AB − AE và DF = CD − CF. Vì AB = CD và AE = CF nên EB = DF. Mặt khác EB // DF (vì AB // CD). Tứ giác DEBF có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.
Bài 12
Cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm hai đường chéo. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E, F sao cho BE = DF, với E nằm giữa B và O, F nằm giữa O và D. Chứng minh AECF là hình bình hành.
Lời giải: Vì OB = OD nên OE = OB − BE = OD − DF = OF, tức O là trung điểm EF. Ngoài ra O là trung điểm AC. Tứ giác AECF có hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
So sánh với Bài 11: cùng giả thiết “hai đoạn bằng nhau”, nhưng khi các điểm nằm trên đường chéo thì nên dùng dấu hiệu đường chéo. Khi các điểm nằm trên cạnh thì nên dùng dấu hiệu “song song và bằng nhau”.
Bài 13
Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC. Qua D kẻ DE // AB (E thuộc AC) và DF // AC (F thuộc AB). Chứng minh AD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lời giải: Tứ giác AFDE có AF // DE (vì DE // AB) và AE // DF (vì DF // AC), nên AFDE là hình bình hành theo định nghĩa. Theo tính chất, hai đường chéo AD và EF của nó cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Bài 14 (nâng cao)
Cho hình bình hành ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
- AMCN là hình bình hành;
- AN và CM chia đường chéo BD thành ba đoạn bằng nhau.
Lời giải:
- AM = AB/2 = CD/2 = CN và AM // CN (vì AB // CD). Vậy AMCN là hình bình hành, suy ra AN // CM.
- Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AN, CM với BD. Trong tam giác DCF, N là trung điểm DC và NE // CF, nên E là trung điểm DF, tức DE = EF. Tương tự, trong tam giác BAE, M là trung điểm AB và MF // AE, nên F là trung điểm BE, tức BF = EF. Vậy DE = EF = FB.
Lưu ý: ý b dùng thêm tính chất “đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba” (phần đường trung bình của tam giác). Các em làm ý này sau khi đã học bài đó.
Dạng 5: Vận dụng thực tế
Bài 15
Một chiếc bàn nâng có khung gồm bốn thanh nối với nhau bằng khớp xoay, tạo thành tứ giác ABCD, trong đó AB = CD và AD = BC. Thanh AB gắn cố định nằm ngang dưới đất, mặt bàn gắn vào thanh CD. Vì sao khi nâng lên hay hạ xuống, mặt bàn luôn nằm ngang?
Lời giải: Khi bàn chuyển động, các góc của tứ giác thay đổi nhưng độ dài các thanh thì giữ nguyên. Nhờ vậy, ở mọi vị trí, ABCD luôn có các cạnh đối bằng nhau, tức luôn là hình bình hành. Do đó CD luôn song song với AB. AB nằm ngang nên CD, tức mặt bàn, cũng luôn nằm ngang.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm góc kề với góc đối: viết ∠A = ∠B, trong khi đúng phải là ∠A = ∠C và ∠A + ∠B = 180°.
- Dùng sai dấu hiệu 3: lấy cặp cạnh song song ở chỗ này ghép với cặp cạnh bằng nhau ở chỗ khác (xem Bài 8b).
- Đọc tên sai thứ tự đỉnh: hình bình hành ABCD thì các đỉnh phải đi lần lượt theo chu vi, nên AC và BD là hai đường chéo, còn AB và CD là cạnh đối.
- Kết luận thiếu căn cứ: chỉ viết “nên là hình bình hành” mà không ghi dấu hiệu đã dùng. Bài như vậy thường bị trừ điểm.
Bài tập tự luyện (có đáp số)
- Hình bình hành ABCD có ∠B = 3∠A. Tính các góc. Đáp số: ∠A = ∠C = 45°, ∠B = ∠D = 135°.
- Hình bình hành ABCD có chu vi 50 cm và AB − AD = 7 cm. Tính AB, AD. Đáp số: AB = 16 cm, AD = 9 cm.
- Cho hình bình hành ABCD. Kẻ BH ⊥ AC tại H và DK ⊥ AC tại K. Chứng minh BHDK là hình bình hành. Gợi ý: chứng minh ΔABH = ΔCDK (cạnh huyền – góc nhọn) để có BH = DK. Thêm BH // DK (cùng vuông góc với AC), rồi dùng dấu hiệu 3.
Tài liệu học tiếp
- Giải SGK Toán 8 Bài 12: Hình bình hành (Kết nối tri thức)
- Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình bình hành
- Vở thực hành Toán 8 Bài 12: Hình bình hành
- Trắc nghiệm Hình bình hành có đáp án
- Chuyên đề dạy thêm Toán 8 – Kết nối tri thức
Câu hỏi thường gặp
Hình bình hành có mấy dấu hiệu nhận biết?
Có 5 dấu hiệu: các cạnh đối song song; các cạnh đối bằng nhau; có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau; các góc đối bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hai góc kề một cạnh của hình bình hành có quan hệ gì?
Hai góc này bù nhau, tức có tổng 180°, vì chúng là hai góc trong cùng phía tạo bởi hai cạnh đối song song.
Tứ giác có một cặp cạnh song song và cặp cạnh còn lại bằng nhau có phải hình bình hành không?
Chưa chắc. Hình thang cân cũng có tính chất này. Phải là cùng một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì mới kết luận được là hình bình hành.
Khi nào nên dùng dấu hiệu hai đường chéo?
Nên dùng khi đề cho trung điểm, cho điểm đối xứng, hoặc khi các điểm cần xét nằm trên đường chéo của một hình bình hành đã có.