Trả lời nhanh
Tứ giác ADME có ba góc vuông tại A, D, E nên là hình chữ nhật. Từ đó suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. DE nhỏ nhất khi AM ⊥ BC (M là chân đường cao từ A). ADME là hình vuông khi M là chân đường phân giác góc A.
Đề bài và hình vẽ
Đề: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Bài này thường có các câu: a) ADME là hình gì? b) Gọi O là trung điểm DE, chứng minh A, O, M thẳng hàng; c) Tìm vị trí M để DE nhỏ nhất; d) Tìm vị trí M để ADME là hình vuông. Vì đề gốc có thể chỉ hỏi một số câu, dưới đây giải đủ các ý hay gặp.
Câu a: Tứ giác ADME là hình gì?
Ta có:
- ∠DAE = 90° (tam giác ABC vuông tại A);
- ∠ADM = 90° (MD ⊥ AB);
- ∠AEM = 90° (ME ⊥ AC).
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Vậy ADME là hình chữ nhật.
Lưu ý: khi M trùng B thì D trùng B, E trùng A; khi M trùng C thì tương tự. Với M nằm giữa B và C ta mới có hình chữ nhật thật sự.
Câu b: A, O, M thẳng hàng
Trong hình chữ nhật ADME, hai đường chéo AM và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. O là trung điểm DE nên O cũng là trung điểm AM. Vậy O nằm trên AM, tức A, O, M thẳng hàng.
Mẹo: đề cho “trung điểm một đường chéo” của hình chữ nhật thì gần như luôn dẫn đến “đó cũng là trung điểm đường chéo kia”.
Câu c: Vị trí M để DE nhỏ nhất
Vì ADME là hình chữ nhật nên DE = AM. Bài toán trở thành: tìm M trên BC để AM nhỏ nhất.
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC. Với mọi M thuộc BC, đường vuông góc AH ngắn hơn hoặc bằng đường xiên AM, nên AM ≥ AH. Dấu bằng xảy ra khi M ≡ H.
Kết luận: DE nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường cao hạ từ A.
Ví dụ tự đặt: AB = 3, AC = 4 thì BC = 5 và AH = AB·AC/BC = 12/5 = 2,4. Khi đó DE nhỏ nhất là 2,4.
Câu d: Vị trí M để ADME là hình vuông
Hình chữ nhật là hình vuông khi một đường chéo là phân giác của một góc, tức AM là tia phân giác của góc BAC. Vậy M là giao điểm của tia phân giác góc A với BC. Ngược lại, nếu AM là phân giác thì MD = ME (điểm trên phân giác cách đều hai cạnh), nên hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, là hình vuông.
Ví dụ (AB = 3, AC = 4): gọi cạnh hình vuông là x. Diện tích tam giác ABC = diện tích ABM + diện tích ACM nên 6 = ½·3·x + ½·4·x = 3,5x, suy ra x = 12/7.
Một số kết quả mở rộng
| Yêu cầu | Cách làm |
|---|---|
| M là trung điểm BC | MD ∥ AC và đi qua trung điểm BC nên D là trung điểm AB; tương tự E là trung điểm AC. Chu vi ADME = AB + AC. |
| Chu vi ADME khi M bất kì | Chu vi = 2(AD + AE) = 2(ME + MD). Giá trị này thay đổi theo M, không phải hằng số. |
| Diện tích ADME lớn nhất | Đạt khi M là trung điểm BC, bằng một nửa diện tích tam giác ABC. |
Lỗi sai thường gặp
- Kết luận “hình chữ nhật” mà quên nêu đủ ba góc vuông và lí do từng góc.
- Nhầm DE nhỏ nhất khi M là trung điểm BC. Thực tế đó là vị trí AM = BC/2, không phải nhỏ nhất (trừ khi tam giác vuông cân).
- Quên đổi DE = AM trước khi dùng quan hệ đường vuông góc – đường xiên.
Bài luyện tập
- Với AB = 6, AC = 8, tính độ dài nhỏ nhất của DE. Đáp án: BC = 10, AH = 6·8/10 = 4,8.
- Với AB = 6, AC = 8, M là trung điểm BC, tính chu vi ADME. Đáp án: AB + AC = 14.
- Với AB = AC = a, M ở vị trí nào thì ADME là hình vuông và cạnh bằng bao nhiêu? Đáp án: M là trung điểm BC; cạnh hình vuông là a/2 (D, E là trung điểm AB, AC).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao ADME là hình chữ nhật?
Vì tứ giác ADME có ba góc vuông: góc A (tam giác vuông tại A), góc D (MD ⊥ AB) và góc E (ME ⊥ AC). Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
DE nhỏ nhất khi nào?
Do DE = AM nên DE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất, tức AM vuông góc BC. Lúc đó M là chân đường cao kẻ từ A và DE = AH.
Khi nào ADME là hình vuông?
Khi AM là tia phân giác của góc BAC, tức M là chân đường phân giác kẻ từ A xuống BC.
Chứng minh A, O, M thẳng hàng như thế nào?
Trong hình chữ nhật ADME, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. O là trung điểm DE nên cũng là trung điểm AM, suy ra A, O, M thẳng hàng.