Trả lời nhanh
Hai biến cố độc lập thì P(A∩B) = P(A)·P(B), suy ra P(B) = P(A∩B) : P(A). Nếu thay đúng số liệu “P(A) = 1/4, P(A∩B) = 1/2” thì được P(B) = 2, vô lý vì xác suất không vượt quá 1 (và P(A∩B) không thể lớn hơn P(A)). Vậy đề bị chép nhầm số hoặc kí hiệu; hãy đối chiếu với đề gốc rồi áp dụng cách giải bên dưới.
Bước 1: Nhớ định nghĩa hai biến cố độc lập
Hai biến cố A và B độc lập khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Về công thức:
P(A∩B) = P(A)·P(B)
Từ đây, nếu P(A) ≠ 0 thì P(B) = P(A∩B) / P(A). Đây là toàn bộ “chìa khoá” của dạng bài này.
Bước 2: Thay số vào đề như đã cho
Với P(A) = 1/4 và P(A∩B) = 1/2:
P(B) = (1/2) : (1/4) = 2.
Kết quả 2 > 1 nên không thể là xác suất. Ngoài ra còn một cách nhận ra lỗi nhanh hơn: A∩B là một phần của A nên luôn có P(A∩B) ≤ P(A). Ở đây 1/2 > 1/4, tức là dữ kiện đã mâu thuẫn ngay từ đầu.
Đề gốc có thể là gì?
Trong các sách bài tập xác suất lớp 12, hai dạng sau rất hay gặp và dễ bị gõ nhầm thành đề trên. Em hãy xem đề của mình khớp dạng nào.
| Dạng đề | Cách giải | Kết quả |
|---|---|---|
| P(A) = 1/2, P(A∩B) = 1/4 (số bị đổi chỗ) | P(B) = (1/4) : (1/2) | P(B) = 1/2 |
| P(A) = 1/4, P(A∪B) = 1/2 (nhầm “hợp” thành “giao”) | P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)·P(B) | P(B) = 1/3 |
Giải chi tiết dạng 2 (dùng công thức cộng)
Vì A, B độc lập nên P(A∩B) = P(A)·P(B). Công thức cộng cho:
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)·P(B)
1/2 = 1/4 + P(B) − (1/4)·P(B) = 1/4 + (3/4)·P(B)
(3/4)·P(B) = 1/4 ⇒ P(B) = 1/3.
Kiểm tra: P(A∪B) = 1/4 + 1/3 − 1/12 = 3/12 + 4/12 − 1/12 = 6/12 = 1/2 ✓.
Lỗi sai thường gặp
- Quên kiểm tra điều kiện 0 ≤ P(B) ≤ 1 sau khi tính. Kết quả lớn hơn 1 là dấu hiệu đề hoặc bước tính có vấn đề.
- Nhầm “độc lập” với “xung khắc”. Xung khắc có P(A∩B) = 0, còn độc lập có P(A∩B) = P(A)·P(B). Hai biến cố có xác suất dương mà xung khắc thì chắc chắn không độc lập.
- Dùng công thức P(A∪B) = P(A) + P(B) mà không trừ P(A∩B) khi A, B không xung khắc.
Mẹo nhớ: “Giao là nhân (khi độc lập), hợp là cộng rồi trừ giao”.
Bài luyện tập có đáp án
- Cho A, B độc lập, P(A) = 0,4 và P(A∩B) = 0,12. Tính P(B).
Đáp án: P(B) = 0,12 : 0,4 = 0,3. - Cho A, B độc lập, P(A) = 1/3 và P(A∪B) = 2/3. Tính P(B).
Đáp án: 2/3 = 1/3 + (2/3)·P(B) ⇒ P(B) = 1/2. - Cho A, B độc lập, P(A) = 0,5 và P(B) = 0,4. Tính P(A∪B).
Đáp án: 0,5 + 0,4 − 0,5·0,4 = 0,7.
Các số liệu trong phần luyện tập là ví dụ do thầy cô tự đặt để em rèn cách làm.
Câu hỏi thường gặp
Hai biến cố độc lập thì P(A∩B) tính thế nào?
Nếu A và B độc lập thì P(A∩B) = P(A)·P(B). Từ đó có thể suy ra P(B) = P(A∩B)/P(A) khi P(A) khác 0.
Vì sao với P(A) = 1/4 và P(A∩B) = 1/2 lại không tìm được P(B)?
Vì A∩B là một phần của A nên P(A∩B) không thể lớn hơn P(A). Tính ra P(B) = 2 là vô lý, nên đề đã bị nhầm số hoặc kí hiệu.
Độc lập và xung khắc khác nhau thế nào?
Xung khắc nghĩa là A và B không thể cùng xảy ra, P(A∩B) = 0. Độc lập nghĩa là P(A∩B) = P(A)·P(B). Hai biến cố có xác suất dương và xung khắc thì không độc lập.
Nếu đề cho P(A∪B) thay vì P(A∩B) thì giải thế nào?
Dùng P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)·P(B) rồi giải phương trình bậc nhất theo P(B). Ví dụ P(A) = 1/4, P(A∪B) = 1/2 cho P(B) = 1/3.