1/vô cùng khác (−∞; 1), giao ra (−2; 1)

Trả lời nhanh

Ba tập ở bài 1.14, sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức, tập 1: (−2; 1] ∩ (−∞; 1) = (−2; 1); (−2; 6) \ (3; 10) = (−2; 3]; (−3; 5] \ [2; 8) = (−3; 2). Cụm 1/vô cùng không phải cách viết các tập này. Dấu ∞ trong (−∞; 1) chỉ đầu mút không bị chặn về bên trái, không phải phép chia 1 cho vô cùng.

Đọc ngoặc và hai phép toán trước khi tính

Ngoặc tròn bỏ đầu mút, ngoặc vuông lấy đầu mút. (−2; 1] gồm mọi số thực x thỏa −2 < x ≤ 1: không có −2, có 1. (−∞; 1) gồm mọi x < 1. Dấu trừ trước ∞ nghĩa là tia đi mãi về bên trái. Không viết thành phân số 1/∞, và cũng không đặt ∞ vào một phép cộng thông thường ở bậc trung học.

Giao A ∩ B là những số vừa thuộc A vừa thuộc B. Trên trục số, đó là đoạn hai tập đè lên nhau. Một đầu mút chỉ được giữ nếu cả hai tập đều chứa nó.

Hiệu A \ B là những số thuộc A nhưng không thuộc B. Số nằm ở mép phải xét riêng: nếu B ngậm đầu mút ấy thì hiệu phải nhả ra, dù A có chứa.

Đề bài 1.14 còn câu a ở một trang khác. Trang này làm ba ý b, c, d và vẽ lại trên trục số. Mỗi ý dưới đây đều thử lại bằng một điểm trong và một điểm sát biên, để khỏi tin nhầm một dấu ngoặc.

Ba tập (−2; 1), (−2; 3] và (−3; 2) vẽ trên cùng một trục số — Hình 1. Ý b mở cả hai đầu, ý c đóng tại 3, ý d mở cả hai đầu và dừng trước 2.

Ý b: giao (−2; 1] với (−∞; 1)

Viết bằng bất phương trình. Số x thuộc cả hai tập khi và chỉ khi −2 < x ≤ 1 và x < 1. Hai điều kiện về bên phải gộp lại thành x < 1, vì điều kiện chặt hơn là không lấy số 1. Điều kiện bên trái giữ nguyên −2 < x. Vậy −2 < x < 1, tức tập (−2; 1).

Vì sao mất số 1: 1 thuộc (−2; 1] do ngoặc vuông, nhưng 1 không thuộc (−∞; 1) do ngoặc tròn. Giao không nhận phần tử chỉ thuộc một tập. Vì sao mất số −2: −2 không thuộc (−2; 1] ngay từ đầu, nên không thể vào giao.

Thử điểm. x = 0 nằm trong (−2; 1), thuộc cả hai tập gốc. x = 1 không thuộc giao. x = −2 không thuộc giao. x = 0,9 thuộc giao. x = 2 không thuộc (−2; 1] nên không thuộc giao, dù 2 có lớn hơn 1 hay không thì cũng đã bị tập thứ nhất loại.

Lời giải ngắn em chép vào vở: (−2; 1] ∩ (−∞; 1) = (−2; 1). Trên trục, khoanh tròn rỗng tại −2 và tại 1, tô đậm khoảng ở giữa, không tô hai đầu.

Ý c: hiệu (−2; 6) trừ (3; 10)

(−2; 6) là −2 < x < 6. (3; 10) là 3 < x < 10. Hiệu giữ phần của tập thứ nhất nằm ngoài tập thứ hai.

Trong (−2; 6), những x thỏa 3 < x < 6 nằm trong (3; 10), nên bị loại. Còn lại −2 < x ≤ 3. Số 3 được giữ vì 3 không thỏa 3 < x, tức 3 không thuộc (3; 10). Số 6 không có trong tập thứ nhất, nên không xuất hiện ở kết quả. Số lớn hơn hoặc bằng 6 cũng không thuộc (−2; 6).

Vậy (−2; 6) \ (3; 10) = (−2; 3].

Cách tách tập cho dễ thấy: (−2; 6) = (−2; 3] ∪ (3; 6). Hiệu của hợp bằng hợp của hai hiệu khi em tách đúng. (−2; 3] không giao (3; 10), nên (−2; 3] \ (3; 10) = (−2; 3]. (3; 6) nằm trọn trong (3; 10), nên (3; 6) \ (3; 10) = ∅. Hợp với tập rỗng không đổi. Kết quả vẫn là (−2; 3].

Thử điểm. x = 3 thuộc (−2; 6), không thuộc (3; 10), nên thuộc hiệu. Đúng với ngoặc vuông tại 3. x = 4 thuộc cả hai, bị loại. x = −1 thuộc hiệu. x = 6 thuộc (3; 10) nhưng không thuộc tập xuất phát (−2; 6), nên không có mặt trong hiệu.

Ý d: hiệu (−3; 5] trừ [2; 8)

(−3; 5] là −3 < x ≤ 5. [2; 8) là 2 ≤ x < 8. Phần chung của hai tập là 2 ≤ x ≤ 5, viết [2; 5]. Bỏ phần chung khỏi tập thứ nhất thì còn −3 < x < 2, tức (−3; 2).

Số 2 bị loại vì 2 thuộc [2; 8). Số 5 bị loại vì 5 thuộc [2; 8) và cũng thuộc (−3; 5]. Số −3 không thuộc tập xuất phát. Không có lý do gì để kết quả ngậm 2 hay ngậm −3.

Tách như ý c: (−3; 5] = (−3; 2) ∪ [2; 5]. [2; 5] nằm trong [2; 8), nên bị trừ sạch. (−3; 2) không cắt [2; 8), nên giữ nguyên. Kết quả (−3; 2).

Thử điểm. x = 1,9 thuộc (−3; 5], không thuộc [2; 8), nên thuộc hiệu, và 1,9 < 2 nên nằm trong (−3; 2). x = 2 thuộc cả hai tập gốc, không thuộc hiệu. x = −3 không thuộc tập thứ nhất. x = 5 không thuộc hiệu.

Ba kết quả đặt cạnh nhau: ý b mở cả hai đầu, ý c đóng ở đầu phải, ý d mở cả hai đầu nhưng đổi hẳn biên phải từ 5 xuống 2. Em không được chép cùng một kiểu ngoặc cho cả ba ý.

Bài luyện cùng kiểu

Bài 1. Tính (−4; 1] ∩ [0; 3).

Đáp án: điều kiện là −4 < x ≤ 1 và 0 ≤ x < 3. Gộp lại 0 ≤ x ≤ 1, nhưng x < 3 đã thừa vì x ≤ 1. Vậy [0; 1]. Đầu 0 được giữ vì cả hai tập đều chứa 0. Đầu 1 được giữ vì tập thứ nhất chứa 1 và 1 nằm trong [0; 3).

Bài 2. Tính (−∞; 2] \ (−1; 2].

Đáp án: từ tập x ≤ 2, bỏ những x thỏa −1 < x ≤ 2. Còn x ≤ −1, tức (−∞; −1]. Số −1 được giữ vì −1 không thuộc (−1; 2]. Số 2 bị bỏ vì thuộc tập bị trừ.

Bài 3. (−2; 1] ∩ (−∞; 1] khác ý b ở chỗ nào?

Đáp án: tập thứ hai nay đóng tại 1, nên số 1 thuộc cả hai. Giao là (−2; 1]. Chỉ một ngoặc vuông đổi ở tập thứ hai cũng kéo số 1 vào kết quả. Đó là lý do ý b của đề, với (−∞; 1) mở tại 1, phải ra (−2; 1) chứ không phải (−2; 1].

Câu hỏi thường gặp

(−2; 1] giao (−∞; 1) bằng tập nào?

Bằng (−2; 1). Số 1 bị loại vì không thuộc (−∞; 1), số −2 không thuộc tập thứ nhất.

1/vô cùng có phải ký hiệu của tập (−∞; 1) không?

Không. ∞ trong (−∞; 1) là đầu mút không bị chặn. 1/vô cùng không phải cách viết tập hợp này.

(−2; 6) trừ (3; 10) bằng gì?

Bằng (−2; 3]. Số 3 được giữ vì không thuộc khoảng mở (3; 10).

(−3; 5] trừ [2; 8) bằng gì?

Bằng (−3; 2). Cả 2 và 5 đều bị loại vì chúng thuộc [2; 8).

Đổi (−∞; 1) thành (−∞; 1] thì giao đổi ra sao?

Số 1 thuộc cả hai tập, nên giao trở thành (−2; 1]. Một ngoặc vuông cũng đổi kết quả.