Trả lời nhanh
Chứng minh −2023/2024. Cả hai bất đẳng thức đều đúng. Câu a: −2023/2024 > −1 vì 2023/2024 < 1, và −1 > −2024/2023 vì 2024/2023 > 1. Tính chất bắc cầu cho −2023/2024 > −2024/2023. Câu b: 34/11 > 33/11 = 3 và 3 = 27/9 > 26/9, nên 34/11 > 26/9. Có thể kiểm lại bằng hiệu: 34/11 − 26/9 = 20/99 > 0.
Đề bài cần chứng minh
Bài 6 trang 37, Vở thực hành Toán 9 Tập 1, sách Kết nối tri thức, yêu cầu chứng minh:
- a) −2023/2024 > −2024/2023
- b) 34/11 > 26/9
Không cần máy tính và không cần quy đồng ra mẫu rất lớn ngay từ đầu. Mỗi câu có một số “mốc” nằm giữa hai vế: câu a lấy mốc −1, câu b lấy mốc 3. Em chỉ cần chứng minh vế trái lớn hơn mốc và mốc lớn hơn vế phải.
Quy tắc dùng ở đây là tính chất bắc cầu của thứ tự trên số hữu tỉ: nếu x > y và y > z thì x > z. Cùng với quy tắc quen: khi mẫu dương, phân số cùng tử thì mẫu lớn hơn thì phân số nhỏ hơn; phân số cùng mẫu thì tử lớn hơn thì phân số lớn hơn. Với số âm, phải cẩn thận chiều của dấu.
Chứng minh câu a
Cách 1, so với −1. Vì 2023 < 2024 và cả hai số đều dương, ta có 2023/2024 < 2024/2024 = 1. Nhân cả hai vế với −1 thì đảo chiều bất đẳng thức: −2023/2024 > −1.
Tương tự, 2024/2023 > 2023/2023 = 1, nên −2024/2023 < −1, tức là −1 > −2024/2023.
Ghép hai kết quả: −2023/2024 > −1 và −1 > −2024/2023. Do đó −2023/2024 > −2024/2023.
Hai phân số này nằm sát −1 nhưng ở hai phía. −2023/2024 lớn hơn −1 một chút, −2024/2023 nhỏ hơn −1 một chút. Sơ đồ chỉ nhằm chỉ thứ tự; khoảng cách thật rất nhỏ, không vẽ đúng tỉ lệ.
Cách 2, so chéo. Hai mẫu 2024 và 2023 đều dương, nên −2023/2024 > −2024/2023 khi và chỉ khi tích chéo bên trái lớn hơn tích chéo bên phải: (−2023) × 2023 > (−2024) × 2024, tức −2023² > −2024². Điều này đúng vì 2024² > 2023². Hiệu hai bình phương là (2024 − 2023)(2024 + 2023) = 1 × 4047 = 4047. Vậy 2024² − 2023² = 4047 > 0, suy ra −2023² − (−2024²) = 4047 > 0. Hiệu hai vế của bất đẳng thức gốc, sau khi quy đồng mẫu 2023 × 2024, có tử dương, nên bất đẳng thức đúng.
Cách 1 ngắn hơn và đúng tinh thần bài trong vở thực hành. Cách 2 hữu ích khi em muốn một con số cụ thể chứng tỏ hai vế cách nhau bao nhiêu: hiệu hai bình phương là 4047, không phải “gần bằng nên coi như bằng”.
Chứng minh câu b
Cách 1, so với 3. Tử 34 lớn hơn 33 trong khi mẫu giữ nguyên, nên 34/11 > 33/11. Mà 33/11 = 3. Vậy 34/11 > 3.
Ở vế kia, 27/9 = 3 và 27 > 26 nên 27/9 > 26/9, tức 3 > 26/9.
Ghép lại: 34/11 > 3 > 26/9, nên 34/11 > 26/9.
Cách 2, tính hiệu. Quy đồng mẫu 11 × 9 = 99:
34/11 − 26/9 = (34 × 9 − 26 × 11) / 99 = (306 − 286) / 99 = 20/99.
Vì 20/99 > 0 nên 34/11 > 26/9. Phép này cũng cho biết vế trái hơn vế phải đúng 20/99, khoảng 0,202.
Em nên viết đủ cả hai tích 34 × 9 = 306 và 26 × 11 = 286 trên giấy. Nhầm một tích là đảo chiều kết luận.
Khi nào so với số nguyên được, khi nào phải quy đồng
Mẹo “kẹp giữa một số nguyên” chỉ chạy khi hai phân số nằm hai bên số đó, hoặc một bên lớn hơn hẳn và bên kia nhỏ hơn hẳn. Câu b may vì 34/11 vượt quá 3 còn 26/9 chưa tới 3. Nếu cả hai cùng lớn hơn 3, mốc 3 không phân được thắng thua.
Ví dụ 19/6 và 22/7. Ta có 19/6 > 18/6 = 3 và 22/7 > 21/7 = 3. Cả hai đều lớn hơn 3, chưa kết luận được gì. Phải so chéo: 19 × 7 = 133, 22 × 6 = 132. Vì 133 > 132 và hai mẫu dương, 19/6 > 22/7. Hiệu là 1/42.
Với số âm, đừng nhìn tử rồi kết luận vội. 2023 < 2024 không có nghĩa −2023/2024 < −2024/2023. Phân số −2024/2023 có trị tuyệt đối lớn hơn 1, nên nó nằm bên trái của −1, tức là nhỏ hơn. Nhầm chiều này là lỗi phổ biến nhất của câu a. Một số đề đúng–sai cố tình viết −2023/2024 < −2024/2023 để bẫy; khẳng định đó sai, chiều đúng là dấu lớn hơn.
Trước khi chọn mốc, em ước lượng nhanh. 2023/2024 nhỏ hơn 1 một chút, 2024/2023 lớn hơn 1 một chút. 34/11 lớn hơn 3 một chút vì 33/11 = 3. 26/9 nhỏ hơn 3 vì 27/9 = 3. Ước lượng đúng thì cách chứng minh tự hiện ra.
Bài tập cùng cách làm
Bài 1. Chứng minh −7/8 > −8/7.
Đáp án: 7/8 < 1 nên −7/8 > −1. 8/7 > 1 nên −8/7 < −1. Vậy −7/8 > −1 > −8/7.
Bài 2. Chứng minh 5/12 < 7/16.
Đáp án: so chéo, 5 × 16 = 80 và 7 × 12 = 84. Vì 80 < 84 và hai mẫu dương, 5/12 < 7/16.
Bài 3. Khẳng định “−2023/2024 < −2024/2023” đúng hay sai?
Đáp án: sai. Chiều đúng là −2023/2024 > −2024/2023, như câu a.
Bài 4. Chứng minh 41/13 > 25/8 mà không dùng máy tính.
Đáp án: 41 × 8 = 328, 25 × 13 = 325, 328 > 325 nên 41/13 > 25/8. Mốc 3 không đủ, vì 39/13 = 3 và 24/8 = 3, cả hai phân số đều lớn hơn 3.
Bài 5. So sánh 8/3 và 11/4.
Đáp án: 8 × 4 = 32, 11 × 3 = 33, 32 < 33 nên 8/3 < 11/4. Hiệu 11/4 − 8/3 = (33 − 32)/12 = 1/12.
Khi trình bày bài gốc, em viết đủ ba dòng cho mỗi câu: so vế trái với mốc, so mốc với vế phải, rồi kết luận bằng bắc cầu. Với câu b, thêm dòng 33/11 = 3 và 27/9 = 3 để người chấm thấy mốc không bị bịa. Nếu muốn chắc tay, viết thêm hiệu 20/99 ở câu b.
Câu hỏi thường gặp
−2023/2024 và −2024/2023 số nào lớn hơn?
−2023/2024 lớn hơn. Nó lớn hơn −1, còn −2024/2023 nhỏ hơn −1.
Vì sao 34/11 lớn hơn 26/9?
Vì 34/11 > 33/11 = 3 và 3 = 27/9 > 26/9. Hiệu hai phân số là 20/99, một số dương.
Có cần quy đồng 2023 với 2024 không?
Không bắt buộc. So cả hai vế với −1 là đủ. Quy đồng chỉ để kiểm tra thêm: hiệu hai bình phương 2024² − 2023² bằng 4047.
Khẳng định −2023/2024 < −2024/2023 đúng hay sai?
Sai. Dấu đúng là lớn hơn. Nhầm này xuất hiện khi em quên rằng số có trị tuyệt đối lớn hơn thì, nếu đang âm, lại là số nhỏ hơn.
Mẹo so với số nguyên có lúc nào hỏng?
Hỏng khi cả hai phân số cùng nằm về một phía của số nguyên đó. Ví dụ 19/6 và 22/7 đều lớn hơn 3; lúc ấy phải so chéo: 19×7 = 133 > 22×6 = 132.