Trả lời nhanh
Giải phương trình 2cos²x + 5sinx − 4 = 0. Phương trình 2cos²x + 5sinx − 4 = 0 có nghiệm x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ). Cách giải: thay cos²x = 1 − sin²x để đưa về phương trình bậc hai 2sin²x − 5sinx + 2 = 0, được sinx = 2 (loại vì |sinx| ≤ 1) hoặc sinx = 1/2. Câu a) của cùng bài, cos(x + π/4) + cos(π/4 − x) = 0, có nghiệm x = π/2 + kπ.
Đề bài
Bài 3 trang 31 Sách bài tập Toán 11 tập 1 (Chân trời sáng tạo), bài Phương trình lượng giác cơ bản, yêu cầu giải các phương trình lượng giác; trong đó hai câu đầu là:
- a) cos(x + π/4) + cos(π/4 − x) = 0;
- b) 2cos²x + 5sinx − 4 = 0.
Trong đường dẫn và nhiều đề chép tay, câu b) hay được viết thành “2cos2x + 5sinx − 4 = 0”, nhưng ý của đề là cos bình phương x (cos²x). Phần cuối bài có hướng dẫn riêng nếu đề của em thực sự là cos 2x.
Lời giải câu b) 2cos²x + 5sinx − 4 = 0
Bước 1: Đưa về một hàm số lượng giác
Phương trình chứa cả cos²x và sinx. Dùng hằng đẳng thức sin²x + cos²x = 1, ta thay cos²x = 1 − sin²x:
2(1 − sin²x) + 5sinx − 4 = 0
⇔ 2 − 2sin²x + 5sinx − 4 = 0
⇔ −2sin²x + 5sinx − 2 = 0
⇔ 2sin²x − 5sinx + 2 = 0.
Bước 2: Đặt ẩn phụ và giải phương trình bậc hai
Đặt t = sinx với điều kiện −1 ≤ t ≤ 1. Phương trình trở thành 2t² − 5t + 2 = 0.
Δ = (−5)² − 4 · 2 · 2 = 25 − 16 = 9, √Δ = 3.
t1 = (5 + 3)/4 = 2 và t2 = (5 − 3)/4 = 1/2.
Vì t1 = 2 > 1 nên loại. Chỉ nhận t = 1/2.
Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản
sinx = 1/2 ⇔ sinx = sin(π/6)
⇔ x = π/6 + k2π hoặc x = π − π/6 + k2π = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ).
Kết luận: phương trình có các nghiệm x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π, k ∈ ℤ.
Thử lại nghiệm
Với x = π/6: cos²(π/6) = (√3/2)² = 3/4, sin(π/6) = 1/2. Khi đó 2 · 3/4 + 5 · 1/2 − 4 = 3/2 + 5/2 − 4 = 0, đúng. Với x = 5π/6: cos²(5π/6) cũng bằng 3/4 và sin(5π/6) = 1/2, nên cũng thỏa mãn.
Lời giải câu a) cos(x + π/4) + cos(π/4 − x) = 0
Áp dụng công thức biến tổng thành tích cos A + cos B = 2cos((A + B)/2) · cos((A − B)/2) với A = x + π/4, B = π/4 − x:
- (A + B)/2 = π/4;
- (A − B)/2 = x.
Phương trình trở thành 2cos(π/4) · cosx = 0 ⇔ √2 · cosx = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ ℤ).
Cách khác: chuyển vế được cos(x + π/4) = −cos(π/4 − x) = cos(3π/4 + x), rồi giải phương trình cos u = cos v cũng ra x = −π/2 + kπ, tức là cùng họ nghiệm x = π/2 + kπ.
Phương pháp chung: phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Dùng công thức (sin²x + cos²x = 1, cos2x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1…) để chỉ còn một hàm số lượng giác của cùng một góc.
- Đặt t bằng hàm số đó và ghi ngay điều kiện: −1 ≤ t ≤ 1 nếu t = sinx hoặc cosx; không cần điều kiện nếu t = tanx.
- Giải phương trình bậc hai theo t, loại nghiệm không thỏa điều kiện.
- Giải phương trình lượng giác cơ bản tương ứng và kết luận đầy đủ cả hai họ nghiệm.
Nếu đề của em khác một chút
| Phương trình | Biến đổi | Nghiệm |
|---|---|---|
| 2cos²x + 5sinx − 4 = 0 | 2sin²x − 5sinx + 2 = 0 ⇒ sinx = 1/2 | x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π |
| 2cos²x − 5sinx − 4 = 0 | 2sin²x + 5sinx + 2 = 0 ⇒ sinx = −1/2 (loại −2) | x = −π/6 + k2π; x = 7π/6 + k2π |
| 2cos2x + 5sinx − 4 = 0 (cos của 2x) | 2(1 − 2sin²x) + 5sinx − 4 = 0 ⇒ 4sin²x − 5sinx + 2 = 0, Δ = 25 − 32 < 0 | Vô nghiệm |
Vì kết quả khác hẳn nhau, em hãy đọc kĩ đề: “cos2x” trong sách in là cos của 2x, còn cos²x thường được viết là “cos bình x” hoặc “cos^2 x” khi gõ trên máy.
Tìm nghiệm trên một đoạn
Nếu đề hỏi nghiệm của 2cos²x + 5sinx − 4 = 0 trên đoạn [0; 4π], em lần lượt thay k vào hai họ nghiệm: x = π/6, 13π/6 và x = 5π/6, 17π/6. Vậy có 4 nghiệm trên đoạn này.
Lỗi thường gặp
- Quên điều kiện −1 ≤ sinx ≤ 1 nên giữ lại nghiệm sinx = 2 rồi viết “x = arcsin 2”, là sai.
- Nhầm cos²x với cos2x, dẫn đến phương trình hoàn toàn khác.
- Chỉ viết một họ nghiệm x = π/6 + k2π, bỏ sót họ x = 5π/6 + k2π.
- Viết chu kì kπ thay vì k2π cho phương trình sinx = a (chỉ phương trình tanx, cotx mới có chu kì kπ).
Bài tập tương tự có đáp án
Bài 1. Giải 2sin²x + 3cosx − 3 = 0.
Đáp án: thay sin²x = 1 − cos²x được 2cos²x − 3cosx + 1 = 0 ⇒ cosx = 1 hoặc cosx = 1/2. Nghiệm: x = k2π; x = ±π/3 + k2π.
Bài 2. Giải cos2x + 3sinx − 2 = 0.
Đáp án: thay cos2x = 1 − 2sin²x được 2sin²x − 3sinx + 1 = 0 ⇒ sinx = 1 hoặc sinx = 1/2. Nghiệm: x = π/2 + k2π; x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π.
Bài 3. Giải 4sin²x − 4sinx − 3 = 0.
Đáp án: sinx = 3/2 (loại) hoặc sinx = −1/2. Nghiệm: x = −π/6 + k2π; x = 7π/6 + k2π.
Câu hỏi thường gặp
Giải phương trình 2cos²x + 5sinx − 4 = 0 ra nghiệm gì?
Đưa về 2sin²x − 5sinx + 2 = 0, được sinx = 1/2, nên x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π (k ∈ ℤ).
Vì sao loại nghiệm sinx = 2?
Vì giá trị của sinx luôn nằm trong đoạn [−1; 1], nên phương trình sinx = 2 vô nghiệm.
Phương trình 2cos2x + 5sinx − 4 = 0 (cos của 2x) có nghiệm không?
Không. Thay cos2x = 1 − 2sin²x được 4sin²x − 5sinx + 2 = 0 có Δ = −7 < 0, nên phương trình vô nghiệm.
Bài giải các phương trình lượng giác 2cos²x + 5sinx − 4 = 0 thuộc sách nào?
Đây là câu b) Bài 3 trang 31 Sách bài tập Toán 11 tập 1 bộ Chân trời sáng tạo.
Phương trình 2cos²x + 5sinx − 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên [0; 2π]?
Có 2 nghiệm là x = π/6 và x = 5π/6.