Trả lời nhanh
Với M, N là trung điểm của SA, SD: OM // SC (đường trung bình của tam giác SAC) và MN // AD // BC (đường trung bình của tam giác SAD và tính chất hình bình hành). Mặt phẳng (OMN) chứa hai đường thẳng cắt nhau OM, MN cùng song song với mặt phẳng (SBC), nên (OMN) // (SBC).
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD.
- a) Chứng minh rằng (OMN) song song với (SBC).
- b) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và ON. Chứng minh rằng PQ song song với (SBC).
Đề thường gặp chỉ hỏi câu a; câu b là phần mở rộng hay đi kèm trong đề kiểm tra Toán 11, chương Quan hệ song song trong không gian.
Lời giải câu a: chứng minh (OMN) // (SBC)
Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm của AC và của BD.
- Chứng minh OM // (SBC). Trong tam giác SAC, M là trung điểm SA, O là trung điểm AC, nên OM là đường trung bình, suy ra OM // SC. Mà SC nằm trong (SBC), do đó OM // (SBC).
- Chứng minh MN // (SBC). Trong tam giác SAD, M, N là trung điểm SA, SD nên MN // AD. Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC. Suy ra MN // BC, mà BC nằm trong (SBC), do đó MN // (SBC).
- Kết luận. OM và MN là hai đường thẳng cắt nhau tại M, cùng nằm trong (OMN) và cùng song song với (SBC). Theo dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song, (OMN) // (SBC).
Cách 2: dùng ON thay cho MN
Trong tam giác SBD, O là trung điểm BD, N là trung điểm SD nên ON // SB, suy ra ON // (SBC). Kết hợp OM // (SBC), với OM và ON cắt nhau tại O, ta cũng có (OMN) // (SBC). Cách này ngắn hơn vì không cần qua trung gian AD.
Lời giải câu b: chứng minh PQ // (SBC)
Trong tam giác ABC, O là trung điểm AC, P là trung điểm AB nên OP // BC. Mặt khác MN // BC (câu a), nên đường thẳng OP song song với MN. Vì O thuộc (OMN) và OP song song với một đường thẳng của (OMN) nên OP nằm trong (OMN); nói cách khác P thuộc (OMN).
Q là trung điểm ON nên Q cũng thuộc (OMN). Vậy đường thẳng PQ nằm trong (OMN). Do (OMN) // (SBC), mọi đường thẳng nằm trong (OMN) đều song song với (SBC). Kết luận: PQ // (SBC).
Cũng có thể lập luận: OP // (SBC) và OQ (tức ON) // (SBC), nên (OPQ) // (SBC), từ đó PQ // (SBC).
Kiến thức cần nhớ
- Đường trung bình: đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu đường thẳng d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì d // (P).
- Hai mặt phẳng song song: nếu (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (Q) thì (P) // (Q).
- Tính chất: nếu (P) // (Q) thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với (Q).
Sai lầm thường gặp
- Chỉ chứng minh một đường thẳng song song. Một đường OM // (SBC) chưa đủ để kết luận hai mặt phẳng song song.
- Chọn hai đường thẳng song song nhau. Ví dụ dùng MN và OP (cùng song song với BC) là sai, vì hai đường này không cắt nhau.
- Quên nêu đường thẳng của (SBC) khi kết luận OM // (SBC); cần ghi rõ OM // SC và SC nằm trong (SBC).
- Nhầm O là trung điểm của AB hoặc AD. O là giao của hai đường chéo nên là trung điểm AC và BD.
Bài tập luyện thêm có đáp án
Bài 1. Với hình chóp trên, chứng minh MN // (ABCD).
Đáp án: MN // AD và AD nằm trong (ABCD), MN không nằm trong (ABCD), nên MN // (ABCD).
Bài 2. Gọi K là trung điểm OM. Chứng minh NK // (SBC).
Đáp án: N và K đều thuộc (OMN), nên NK nằm trong (OMN). Mà (OMN) // (SBC) nên NK // (SBC).
Bài 3. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (OMN).
Đáp án: (OMN) cắt đáy theo đường thẳng qua O song song với BC, cắt AB tại P (trung điểm AB) và cắt CD tại R (trung điểm CD). Thiết diện là tứ giác MNRP; vì MN // PR nên đó là hình thang, với PR = BC và MN = BC/2.
Bài 4 (trắc nghiệm). Khẳng định nào sau đây sai?
- A. OM // SC.
- B. MN // (SBC).
- C. (OMN) // (SBC).
- D. ON cắt CB.
Đáp án: D. ON nằm trong (OMN), CB nằm trong (SBC), mà hai mặt phẳng này song song nên ON và CB không có điểm chung.
Câu hỏi thường gặp
Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song cần điều kiện gì?
Cần chỉ ra một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cả hai đường cùng song song với mặt phẳng còn lại.
Vì sao OM song song với SC?
Vì O là trung điểm AC và M là trung điểm SA, nên OM là đường trung bình của tam giác SAC, do đó OM // SC.
Có thể dùng ON thay MN để chứng minh (OMN) // (SBC) không?
Được. ON là đường trung bình của tam giác SBD nên ON // SB; kết hợp OM // SC, hai đường OM, ON cắt nhau tại O nên (OMN) // (SBC).
Thiết diện của hình chóp cắt bởi (OMN) là hình gì?
Là hình thang MNRP với P, R lần lượt là trung điểm AB, CD; đáy lớn PR bằng BC và đáy nhỏ MN bằng nửa BC.