Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện cắt bởi (IBC) là
Lớp 11Toán

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện cắt bởi (IBC) là

Trả lời nhanh

Cho hình chóp sabcd có đáy abcd là hình bình hành. Đáp án đúng là B: hình thang IJCB, với J là trung điểm của SD. Vì BC song song với AD nên BC song song với mặt phẳng (SAD). Do đó mặt phẳng (IBC) cắt (SAD) theo giao tuyến đi qua I và song song với AD, cắt SD tại J. Vì I là trung điểm SA nên IJ là đường trung bình của tam giác SAD, J là trung điểm SD và IJ // BC, IJ = BC/2.

Đề bài trắc nghiệm

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là:

  • A. Tam giác IBC.
  • B. Hình thang IJCB (J là trung điểm SD).
  • C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB).
  • D. Tứ giác IBCD.

Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em.

Lời giải chi tiết

Để tìm thiết diện, em lần lượt tìm đoạn giao tuyến của mặt phẳng (IBC) với từng mặt của hình chóp, cho đến khi được một đa giác khép kín.

  1. Với mặt đáy (ABCD): B và C cùng thuộc hai mặt phẳng nên giao tuyến là đoạn BC.
  2. Với mặt bên (SAB): I thuộc SA và B thuộc (SAB), nên đoạn giao tuyến là IB.
  3. Với mặt bên (SAD): ABCD là hình bình hành nên BC // AD. Đường thẳng BC nằm trong (IBC) và song song với đường thẳng AD nằm trong (SAD), nên hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến đi qua điểm chung I và song song với AD. Trong mặt phẳng (SAD), kẻ Ix // AD, cắt SD tại J. Đoạn giao tuyến là IJ.
  4. Với mặt bên (SCD): J thuộc SD và C thuộc (SCD), nên đoạn giao tuyến là JC.
  5. Với mặt bên (SBC): mặt phẳng (IBC) chứa cạnh BC, chỉ cắt mặt này theo BC.

Ghép các đoạn IB, BC, CJ, JI ta được tứ giác IBCJ. Vì IJ // AD và AD // BC nên IJ // BC, do đó thiết diện là hình thang IJCB (hai đáy IJ và BC).

Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, I là trung điểm SA, J là trung điểm SD, thiết diện IJCB được tô màu hồng
Hình 1. Mặt phẳng (IBC) cắt hình chóp theo hình thang IJCB, trong đó IJ song song và bằng nửa BC.

Vì sao J là trung điểm SD? Trong tam giác SAD, đường thẳng IJ đi qua trung điểm I của cạnh SA và song song với cạnh AD, nên theo định lí đường trung bình, IJ cắt SD tại trung điểm J của SD và IJ = AD/2. Vì AD = BC (hình bình hành) nên IJ = BC/2. Như vậy IJCB là hình thang có đáy nhỏ bằng nửa đáy lớn.

Vì sao các phương án khác sai?

  • A. Tam giác IBC: tam giác IBC chỉ là một phần của thiết diện. Đoạn IC đi xuyên qua bên trong hình chóp, không nằm trên mặt nào; mặt phẳng (IBC) còn cắt hai mặt (SAD) và (SCD) theo IJ và JC, nên thiết diện có bốn cạnh chứ không phải ba.
  • C. Hình thang IGBC: mặt phẳng (IBC) chứa điểm B, nên nó cắt cạnh SB tại B chứ không phải tại trung điểm G. Hơn nữa đoạn IG song song với AB chứ không song song với BC.
  • D. Tứ giác IBCD: nếu D thuộc (IBC) thì mặt phẳng này chứa B, C, D, tức trùng với mặt đáy (ABCD). Khi đó I phải nằm trên mặt đáy, vô lí vì I là trung điểm SA. Vậy D không thuộc thiết diện.

Kiến thức nền: tìm thiết diện bằng quan hệ song song

Bài toán dùng định lí quan trọng trong chương Quan hệ song song (Toán 11): nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) đều cắt (P) theo giao tuyến song song với a. Hệ quả hay dùng: hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song và có một điểm chung thì giao tuyến của chúng đi qua điểm chung đó và song song với hai đường thẳng kia.

Quy trình chung để dựng thiết diện:

  1. Xác định các điểm chung có sẵn giữa mặt phẳng cắt và các mặt của hình chóp.
  2. Tìm cặp đường thẳng song song (thường là cặp cạnh đối của hình bình hành đáy) để kẻ giao tuyến song song.
  3. Nối các giao điểm nằm trên cùng một mặt, kiểm tra đa giác khép kín.
  4. Nhận dạng thiết diện (tam giác, hình thang, hình bình hành…) dựa trên các cặp cạnh song song.

Sai lầm thường gặp

  • Nối thẳng I với C rồi dừng lại, quên rằng IC không nằm trên mặt nào của hình chóp.
  • Kẻ đường qua I song song với AB thay vì AD, dẫn tới điểm sai trên SB.
  • Chỉ kết luận “tứ giác” mà không chỉ ra cặp cạnh song song IJ // BC nên chưa nhận dạng đúng hình thang.

Bài tập tương tự có đáp án

  1. Cùng hình chóp trên, gọi M là trung điểm SD. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MAB) là hình gì? Đáp án: AB // CD nên giao tuyến với (SCD) qua M song song CD, cắt SC tại trung điểm N. Thiết diện là hình thang ABNM với MN = AB/2.
  2. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IBD), với I là trung điểm SA, là hình gì? Đáp án: tam giác IBD, vì mặt phẳng cắt đáy theo BD và cắt hai mặt (SAB), (SAD) theo IB, ID.
  3. Trong bài gốc, nếu I là điểm trên SA với SI = ⅓SA thì giao điểm J trên SD thỏa mãn điều gì? Đáp án: IJ // AD nên SJ = ⅓SD và IJ = ⅓BC; thiết diện vẫn là hình thang IJCB.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao giao tuyến của (IBC) và (SAD) song song với AD?

Vì BC nằm trong (IBC), AD nằm trong (SAD) và BC // AD. Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (qua điểm chung I) song song với hai đường thẳng đó.

Thiết diện IJCB có phải hình bình hành không?

Không. IJ // BC nhưng IJ = BC/2, hai đáy không bằng nhau nên IJCB chỉ là hình thang.

Thiết diện của hình chóp là gì?

Thiết diện là đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình chóp.

Điểm J nằm ở đâu trên SD?

J là trung điểm SD, vì IJ là đường trung bình của tam giác SAD (đi qua trung điểm I của SA và song song với AD).

Bài học liên quan