Trả lời nhanh
Cho dãy số (un) biết un = 5^n/n^2. Chọn A: dãy số (un) tăng. Vì un = 5n/n2 > 0 với mọi n ∈ ℕ*, ta xét tỉ số un+1/un = 5n2/(n + 1)2. Hiệu 5n2 − (n + 1)2 = 4n2 − 2n − 1 > 0 với mọi n ≥ 1, nên tỉ số luôn lớn hơn 1, tức là un+1 > un với mọi n.
Đề bài
Cho dãy số (un) biết un = 5n/n2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Dãy số (un) tăng.
- B. Dãy số (un) giảm.
- C. Dãy số (un) không tăng, không giảm.
- D. Dãy số (un) là dãy hữu hạn.
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Nhận xét dấu. Với mọi n ∈ ℕ*, tử 5n > 0 và mẫu n2 > 0 nên un > 0. Vì các số hạng đều dương, ta được phép so sánh un+1 với un bằng tỉ số.
Bước 2. Lập tỉ số.
un+1 = 5n+1/(n + 1)2, do đó un+1/un = [5n+1/(n + 1)2] · [n2/5n] = 5n2/(n + 1)2.
Bước 3. So sánh tỉ số với 1. Tỉ số lớn hơn 1 khi và chỉ khi 5n2 > (n + 1)2. Xét hiệu:
5n2 − (n + 1)2 = 5n2 − n2 − 2n − 1 = 4n2 − 2n − 1 = 2n(2n − 1) − 1.
Với n ≥ 1 thì 2n ≥ 2 và 2n − 1 ≥ 1, nên 2n(2n − 1) ≥ 2, suy ra 4n2 − 2n − 1 ≥ 1 > 0.
Bước 4. Kết luận. un+1/un > 1 và un > 0 nên un+1 > un với mọi n ∈ ℕ*. Dãy số đã cho là dãy tăng, chọn A.
Kiểm tra bằng vài số hạng đầu:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| un = 5n/n2 | 5 | 25/4 = 6,25 | 125/9 ≈ 13,89 | 625/16 ≈ 39,06 | 3125/25 = 125 |
Các số hạng tăng dần, khớp với kết quả chứng minh. Lưu ý bảng này chỉ để kiểm tra; muốn kết luận cho mọi n vẫn phải chứng minh như trên.
Vì sao các phương án khác sai?
- B sai: dãy giảm đòi hỏi un+1 < un với mọi n, nhưng ngay u2 = 6,25 > u1 = 5.
- C sai: ta đã chứng minh un+1 > un với mọi n, nên dãy có tính đơn điệu (tăng).
- D sai: công thức un = 5n/n2 xác định với mọi số nguyên dương n, nên dãy có vô số số hạng, là dãy vô hạn.
Kiến thức cần nhớ về dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy (un) tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ ℕ*; giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ ℕ*.
- Cách 1 – xét hiệu: tính un+1 − un; dương với mọi n thì dãy tăng, âm với mọi n thì dãy giảm. Hợp với công thức dạng đa thức, phân thức bậc nhất.
- Cách 2 – xét tỉ số (chỉ dùng khi un > 0 với mọi n): un+1/un > 1 thì dãy tăng, < 1 thì dãy giảm. Hợp với công thức có lũy thừa an, giai thừa n!.
- Nếu chỉ ra được hai cặp số hạng, một cặp tăng và một cặp giảm, thì dãy không tăng, không giảm.
Về tính bị chặn: dãy này bị chặn dưới (un > 0) nhưng không bị chặn trên, vì 5n tăng nhanh hơn rất nhiều so với n2.
Lỗi thường gặp
- Tính ba số hạng đầu thấy tăng rồi kết luận ngay, không chứng minh cho mọi n. Ví dụ ở bài 3 bên dưới cho thấy cách này có thể sai.
- Dùng tỉ số khi chưa kiểm tra un > 0; với dãy có số hạng âm, tỉ số lớn hơn 1 không có nghĩa là dãy tăng.
- Rút gọn sai lũy thừa: 5n+1/5n = 5 chứ không phải 5n.
Bài tập tương tự có đáp án
- Xét tính tăng, giảm của dãy un = 3n/n. Đáp án: tỉ số un+1/un = 3n/(n + 1) > 1 vì 3n − (n + 1) = 2n − 1 > 0, nên dãy tăng.
- Xét tính tăng, giảm của dãy un = n/3n. Đáp án: tỉ số (n + 1)/(3n) < 1 vì 3n − (n + 1) = 2n − 1 > 0, nên dãy giảm.
- Dãy un = 2n/n2 có tăng không? Đáp án: u1 = 2, u2 = 1, u3 = 8/9, u4 = 1. Có u2 < u1 nhưng u4 > u3, nên dãy không tăng, không giảm (dãy chỉ tăng kể từ n = 3).
Câu hỏi thường gặp
Khi nào nên xét tỉ số un+1/un thay vì xét hiệu?
Khi mọi số hạng đều dương và công thức chứa lũy thừa a^n hoặc giai thừa, vì tỉ số rút gọn được gọn hơn nhiều so với hiệu.
Dãy số un = 5^n/n^2 có bị chặn không?
Dãy bị chặn dưới vì un > 0 với mọi n, nhưng không bị chặn trên vì 5^n tăng nhanh hơn n^2, nên dãy không bị chặn.
Dãy số hữu hạn là gì?
Là dãy chỉ có một số hữu hạn số hạng, xác định trên tập {1; 2; …; m}. Dãy cho bởi công thức với mọi n ∈ ℕ* là dãy vô hạn.
Số hạng u3 của dãy un = 5^n/n^2 bằng bao nhiêu?
u3 = 5^3/3^2 = 125/9, xấp xỉ 13,89.