Tính logarit cơ số 1/2 của 8 bằng bao nhiêu?

Logarit cơ số 1/2 của 8 bằng −3, tức là log1/28 = −3. Lí do là (1/2)−3 = 23 = 8. Cách nhanh nhất là đưa về cùng cơ số 2: 1/2 = 2−1 và 8 = 23, nên log1/28 = 3 : (−1) = −3.

Logarit cơ số 1/2 của 8 bằng −3: cách tính chi tiết

Trả lời nhanh

Logarit cơ số 1/2 của 8 bằng −3, tức là log_1/28 = −3. Lí do là (1/2)⁻³ = 2³ = 8. Cách nhanh nhất là đưa về cùng cơ số 2: 1/2 = 2⁻¹ và 8 = 2³, nên log_1/28 = 3 : (−1) = −3.

Lời giải chi tiết: log_1/28 = −3

Cách 1: Dùng định nghĩa logarit

Theo định nghĩa, với a > 0, a ≠ 1, b > 0 thì log_ab = x khi và chỉ khi a^x = b.

Đặt x = log_1/28. Khi đó (1/2)^x = 8, hay 2^−x = 2³. Hai lũy thừa cùng cơ số 2 bằng nhau nên −x = 3, suy ra x = −3.

Thử lại: (1/2)⁻³ = 1 : (1/2)³ = 1 : (1/8) = 8. Đúng.

Cách 2: Dùng công thức log_a^βb^α = (α/β)·log_ab

Ta có 1/2 = 2⁻¹ và 8 = 2³. Do đó log_1/28 = log_2⁻¹2³ = (3/(−1))·log₂2 = −3·1 = −3.

Cách 3: Đổi sang logarit cơ số e (ln) hoặc cơ số 10

Công thức đổi cơ số: log_ab = ln b / ln a. Ta có ln 8 = 3ln 2 và ln(1/2) = −ln 2, nên log_1/28 = 3ln 2 / (−ln 2) = −3. Tính gần đúng: ln 8 ≈ 2,0794 và ln 0,5 ≈ −0,6931, thương bằng −3,000.

Cách 4: Bấm máy tính cầm tay

Trên các dòng máy có phím log_□□, em nhập cơ số 1 ÷ 2 (hoặc 0,5) vào ô dưới và 8 vào ô trên rồi bấm “=”, máy cho kết quả −3. Nếu máy chỉ có phím ln hoặc log (cơ số 10), em bấm ln 8 ÷ ln 0,5 hoặc log 8 ÷ log 0,5. Nhớ đặt dấu ngoặc đúng chỗ.

Nếu đề là “logarit cơ số 12 của 8”: log₁₂8 = ln 8 / ln 12 ≈ 2,0794 / 2,4849 ≈ 0,8368. Em đọc kĩ đề, vì “1/2” và “12” khi viết thiếu dấu gạch rất dễ nhầm.

Nhắc lại định nghĩa và tính chất logarit

Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số x thỏa mãn a^x = b được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu log_ab. Điều kiện luôn phải nhớ: cơ số a > 0, a ≠ 1 và biểu thức dưới dấu log b > 0.

Tính chất / công thức	Ví dụ với cơ số 1/2
log_a1 = 0; log_aa = 1	log_1/21 = 0; log_1/2(1/2) = 1
a^log_ab = b; log_aa^α = α	(1/2)^log_1/25 = 5
log_a(bc) = log_ab + log_ac	log_1/2(2·4) = −1 + (−2) = −3
log_a(b/c) = log_ab − log_ac	log_1/2(16/2) = −4 − (−1) = −3
log_ab^α = α·log_ab	log_1/22³ = 3·(−1) = −3
log_ab = log_cb / log_ca	log_1/28 = log₂8 / log₂(1/2) = 3/(−1)

Một hệ quả rất tiện: log_1/ab = −log_ab. Vì vậy log_1/28 = −log₂8 = −3. Em chỉ cần tính log₂ rồi đổi dấu.

Vì sao logarit cơ số 1/2 của 8 lại âm?

Khi cơ số nằm giữa 0 và 1, lũy thừa (1/2)^x chỉ lớn hơn 1 khi số mũ x âm. Muốn (1/2)^x đạt tới 8 thì x phải là số âm. Hàm số y = log_1/2x nghịch biến trên (0; +∞): x lớn hơn 1 thì y âm, x nằm giữa 0 và 1 thì y dương.

x	1/4	1/2	1	2	4	8	16
log_1/2x	2	1	0	−1	−2	−3	−4

Đồ thị hàm số y = log cơ số 1/2 của x đi qua điểm (1; 0) và điểm (8; −3), đi xuống từ trái sang phải — Hình 1. Đồ thị y = log₁/₂x nghịch biến và đi qua điểm (8; −3), nên log₁/₂8 = −3.

Đồ thị đi qua điểm (1; 0) và đi xuống khi x tăng. Điểm (8; −3) nằm trên đồ thị, khớp với kết quả vừa tính.

Logarit cơ số e (lôgarit tự nhiên) là gì?

Số e ≈ 2,71828 là một hằng số vô tỉ. Nó là giới hạn của (1 + 1/n)ⁿ khi n tăng dần ra vô cùng. Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên (lôgarit nêpe), kí hiệu ln x. Như vậy ln x = log_ex.

ln 1 = 0, ln e = 1, ln e^k = k, e^{ln x} = x (x > 0).
Vì e > 1 nên hàm y = ln x đồng biến. Ngược lại, y = log_1/2x nghịch biến.
Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân, kí hiệu log x hoặc lg x.
Mọi logarit đều đổi được về ln: log_ab = ln b / ln a. Vì thế máy tính chỉ cần phím ln vẫn tính được log_1/28.

Số e xuất hiện tự nhiên trong lãi kép liên tục, tăng trưởng dân số và phân rã phóng xạ, nên ln được dùng rất nhiều ở lớp 11, lớp 12 và trong các môn khoa học.

Ví dụ tương tự có lời giải

log_1/216 = −log₂2⁴ = −4.
log_1/2(1/32) = log_1/2(1/2)⁵ = 5.
log_1/327 = −log₃3³ = −3.
log_1/2√2 = −log₂2^1/2 = −1/2.
log_1/48 = log_2⁻²2³ = 3/(−2) = −3/2. Thử lại: (1/4)^−3/2 = 4^3/2 = 8.

Lỗi sai thường gặp

Quên dấu âm, ra đáp án 3. Đó là log₂8, không phải log_1/28.
Nhầm thành 1/3 do đảo ngược định nghĩa: log₈2 = 1/3, còn log₂8 = 3.
Bấm máy sai ngoặc: ln 8 ÷ ln 1 ÷ 2 sẽ báo lỗi chia cho 0 (vì ln 1 = 0). Phải bấm ln 8 ÷ ln(1 ÷ 2).
Bỏ qua điều kiện khi giải phương trình logarit: biểu thức trong log phải dương.

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Tính log_1/264. Đáp án: −6.
Tính log_1/20,125. Đáp án: 3, vì 0,125 = (1/2)³.
Tính A = log_1/28 + log₂32. Đáp án: A = −3 + 5 = 2.
Tính 4^log₂3. Đáp án: 4^log₂3 = 2^2log₂3 = 3² = 9.
Giải phương trình log_1/2x = −3. Đáp án: x = (1/2)⁻³ = 8.
Tính ln e⁵ − ln 1. Đáp án: 5 − 0 = 5.

Câu hỏi thường gặp

Logarit cơ số 1/2 của 8 bằng bao nhiêu?

Logarit cơ số 1/2 của 8 bằng −3, vì (1/2)^(−3) = 2^3 = 8.

Tại sao logarit cơ số 1/2 của 8 là số âm?

Cơ số 1/2 nhỏ hơn 1 nên muốn lũy thừa của nó lớn hơn 1 thì số mũ phải âm. Do đó logarit cơ số 1/2 của mọi số lớn hơn 1 đều âm.

Bấm máy tính log cơ số 1/2 của 8 như thế nào?

Dùng phím log□□: nhập cơ số 0,5 và số 8 rồi bấm =. Nếu máy không có phím đó, bấm ln 8 ÷ ln 0,5, máy sẽ cho kết quả −3.

Logarit cơ số e là gì?

Đó là logarit tự nhiên, kí hiệu ln x = log cơ số e của x, với e ≈ 2,71828. Ta có ln 1 = 0 và ln e = 1.

log cơ số 1/2 và log cơ số 2 liên hệ thế nào?

Với mọi b > 0, log cơ số 1/2 của b bằng −log cơ số 2 của b, nên chỉ cần tính log cơ số 2 rồi đổi dấu.