Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức đầy đủ 9 chương

Trả lời nhanh

Toán 11 Kết nối tri thức gồm 9 chương, 33 bài. Tập 1 có: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác; Dãy số – cấp số cộng – cấp số nhân; Các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm; Quan hệ song song trong không gian; Giới hạn – hàm số liên tục. Tập 2 có: Hàm số mũ và hàm số lôgarit; Quan hệ vuông góc trong không gian; Các quy tắc tính xác suất; Đạo hàm. Bài viết tóm tắt công thức và kiến thức trọng tâm của từng chương, mỗi chương kèm một ví dụ giải sẵn.

Toán 11 Kết nối tri thức gồm những chương nào?

Chương	Tên chương	Các bài
I	Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác	Bài 1–4
II	Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân	Bài 5–7
III	Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm	Bài 8–9
IV	Quan hệ song song trong không gian	Bài 10–14
V	Giới hạn. Hàm số liên tục	Bài 15–17
VI	Hàm số mũ và hàm số lôgarit	Bài 18–21
VII	Quan hệ vuông góc trong không gian	Bài 22–27
VIII	Các quy tắc tính xác suất	Bài 28–30
IX	Đạo hàm	Bài 31–33

Chương I–V thuộc Tập 1 (học kì 1), chương VI–IX thuộc Tập 2 (học kì 2). Ngoài phần chính, sách còn có các hoạt động thực hành trải nghiệm và chuyên đề học tập dành cho lớp chọn học chuyên sâu.

Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Tập 1

Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Góc lượng giác và đơn vị đo. 180° = π rad; cung tròn bán kính R có số đo α rad thì có độ dài l = Rα. Hai góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau k·360° (hay k2π).

Hệ thức cơ bản: sin²α + cos²α = 1; tanα·cotα = 1; 1 + tan²α = 1/cos²α; 1 + cot²α = 1/sin²α.

Công thức cộng:

cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
tan(a ± b) = (tan a ± tan b)/(1 ∓ tan a tan b)

Công thức nhân đôi: sin2a = 2sin a cos a; cos2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a; tan2a = 2tan a/(1 − tan²a).

Biến đổi tích thành tổng: cos a cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)]; sin a sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)]; sin a cos b = ½[sin(a − b) + sin(a + b)].

Biến đổi tổng thành tích: cos a + cos b = 2cos((a + b)/2)cos((a − b)/2); cos a − cos b = −2sin((a + b)/2)sin((a − b)/2); sin a + sin b = 2sin((a + b)/2)cos((a − b)/2); sin a − sin b = 2cos((a + b)/2)sin((a − b)/2).

Hàm số	Tập xác định	Tập giá trị	Tính chẵn lẻ	Chu kì
y = sin x	ℝ	[−1; 1]	Lẻ	2π
y = cos x	ℝ	[−1; 1]	Chẵn	2π
y = tan x	x ≠ π/2 + kπ	ℝ	Lẻ	π
y = cot x	x ≠ kπ	ℝ	Lẻ	π

Phương trình lượng giác cơ bản (k ∈ ℤ):

sin x = sin α ⇔ x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π (điều kiện có nghiệm của sin x = m là |m| ≤ 1).
cos x = cos α ⇔ x = α + k2π hoặc x = −α + k2π (cũng cần |m| ≤ 1).
tan x = tan α ⇔ x = α + kπ; cot x = cot α ⇔ x = α + kπ.

Ví dụ. Cho cos a = 3/5. Tính cos2a. Ta có cos2a = 2cos²a − 1 = 2·9/25 − 1 = −7/25. Giải sin x = 1/2: vì sin(π/6) = 1/2 nên x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π.

Chương II: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Dãy số (u_n) là tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n, giảm nếu u_n+1 < u_n; bị chặn trên, bị chặn dưới hay bị chặn khi tồn tại số M, m sao cho m ≤ u_n ≤ M.

	Cấp số cộng (công sai d)	Cấp số nhân (công bội q)
Định nghĩa	u_n+1 = u_n + d	u_n+1 = u_n·q
Số hạng tổng quát	u_n = u₁ + (n − 1)d	u_n = u₁·qⁿ⁻¹
Tính chất ba số liên tiếp	u_k = (u_k−1 + u_k+1)/2	u_k² = u_k−1·u_k+1
Tổng n số hạng đầu	S_n = n(u₁ + u_n)/2	S_n = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q), q ≠ 1

Ví dụ. Cấp số cộng có u₁ = 3, d = 4 thì u₁₀ = 3 + 9·4 = 39 và S₁₀ = 10·(3 + 39)/2 = 210. Cấp số nhân có u₁ = 2, q = 3 thì u₅ = 2·3⁴ = 162 và S₅ = 2(1 − 3⁵)/(1 − 3) = 2·(−242)/(−2) = 242.

Chương III: Số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm chia dữ liệu thành các nhóm [u₁; u₂), [u₂; u₃)… với tần số n₁, n₂… Giá trị đại diện của mỗi nhóm là trung điểm x_i của nhóm.

Số trung bình: x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + … + n_kx_k)/n.
Trung vị: nếu nhóm [u_m; u_m+1) chứa trung vị, C là tổng tần số các nhóm đứng trước nó thì M_e = u_m + [(n/2 − C)/n_m]·(u_m+1 − u_m). Tứ phân vị Q₁, Q₃ tính tương tự với n/4 và 3n/4.
Mốt: nhóm có tần số lớn nhất [u_m; u_m+1) thì M_o = u_m + [(n_m − n_m−1)/((n_m − n_m−1) + (n_m − n_m+1))]·(u_m+1 − u_m).

Ví dụ. Mẫu có ba nhóm [0; 10), [10; 20), [20; 30) với tần số 5, 12, 8 (n = 25). Số trung bình x̄ = (5·5 + 15·12 + 25·8)/25 = 405/25 = 16,2. Vì n/2 = 12,5 và tần số tích luỹ là 5; 17 nên trung vị thuộc nhóm [10; 20): M_e = 10 + (12,5 − 5)/12·10 = 16,25. Mốt: M_o = 10 + 7/(7 + 4)·10 ≈ 16,36.

Chương IV: Quan hệ song song trong không gian

Xác định mặt phẳng: qua ba điểm không thẳng hàng; qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài nó; qua hai đường thẳng cắt nhau; qua hai đường thẳng song song.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm hai điểm chung phân biệt, hoặc một điểm chung và phương song song đã biết.
Hai đường thẳng song song: nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song.
Đường thẳng song song với mặt phẳng: d không nằm trong (P) và d song song với một đường thẳng d’ nằm trong (P) thì d ∥ (P).
Hai mặt phẳng song song: (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (Q) thì (P) ∥ (Q). Định lí Thalès: ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Phép chiếu song song giữ nguyên tính thẳng hàng, tính song song và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng phương; đó là cơ sở để vẽ hình biểu diễn của hình không gian.

Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục

Giới hạn đặc biệt: lim 1/n^k = 0 (k nguyên dương); lim qⁿ = 0 khi |q| < 1; lim c = c.
Cấp số nhân lùi vô hạn (|q| < 1) có tổng S = u₁/(1 − q).
Giới hạn hàm số tại một điểm, giới hạn một bên, giới hạn tại vô cực; với dạng 0/0 em thường phân tích thành nhân tử hoặc nhân liên hợp để khử.
Hàm số f liên tục tại x₀ nếu lim_x→x₀ f(x) = f(x₀). Nếu f liên tục trên [a; b] và f(a)·f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong (a; b).

Ví dụ. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,333… = 3/10 + 3/100 + … là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 3/10, q = 1/10, nên bằng (3/10)/(1 − 1/10) = 1/3. Tính lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Tập 2

Chương VI: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Luỹ thừa (a > 0): a^m·aⁿ = a^m+n; a^m/aⁿ = a^m−n; (a^m)ⁿ = a^mn; a^m/n là căn bậc n của a^m.
Lôgarit: với a > 0, a ≠ 1, b > 0, log_ab = α ⇔ a^α = b. Các quy tắc: log_a(bc) = log_ab + log_ac; log_a(b/c) = log_ab − log_ac; log_ab^α = α·log_ab; đổi cơ số log_ab = log_cb/log_ca.
Hàm số mũ y = a^x có tập xác định ℝ, tập giá trị (0; +∞); hàm số lôgarit y = log_ax có tập xác định (0; +∞). Cả hai đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.
Phương trình: a^x = b (b > 0) ⇔ x = log_ab; log_ax = b ⇔ x = a^b. Bất phương trình: cơ số lớn hơn 1 thì giữ chiều, cơ số trong (0; 1) thì đổi chiều.

Ví dụ. 2^x+1 = 8 ⇔ 2^x+1 = 2³ ⇔ x = 2. Phương trình log₃(x − 1) = 2 với điều kiện x > 1 cho x − 1 = 9, tức x = 10 (thoả mãn).

Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P) thì d ⊥ (P), khi đó d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Định lí ba đường vuông góc: cho a nằm trong (P), b là đường xiên và b’ là hình chiếu của b lên (P); a ⊥ b ⇔ a ⊥ b’.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. Góc nhị diện được đo bằng góc phẳng nhị diện.
Hai mặt phẳng vuông góc: (P) chứa một đường thẳng vuông góc với (Q) thì (P) ⊥ (Q).
Khoảng cách: từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng; giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; giữa hai mặt phẳng song song; giữa hai đường thẳng chéo nhau (độ dài đoạn vuông góc chung).
Thể tích: khối lăng trụ V = B·h; khối chóp V = (1/3)B·h; khối chóp cụt đều V = (h/3)(S + S’ + √(SS’)), với S, S’ là diện tích hai đáy.

Ví dụ. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 6 cm, chiều cao 4 cm: B = 36 cm², V = (1/3)·36·4 = 48 cm³.

Chương VIII: Các quy tắc tính xác suất

Biến cố hợp A ∪ B xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra; biến cố giao AB xảy ra khi cả hai cùng xảy ra. A, B xung khắc nếu không thể cùng xảy ra; độc lập nếu việc xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia.
Công thức cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB); nếu A, B xung khắc thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Công thức nhân cho hai biến cố độc lập: P(AB) = P(A)·P(B).

Ví dụ. Hai xạ thủ bắn độc lập, xác suất trúng lần lượt 0,8 và 0,7. Xác suất cả hai trúng là 0,8·0,7 = 0,56. Xác suất có ít nhất một người trúng là 1 − 0,2·0,3 = 0,94 (kiểm tra bằng công thức cộng: 0,8 + 0,7 − 0,56 = 0,94).

Chương IX: Đạo hàm

Định nghĩa: f'(x₀) = lim_x→x₀ [f(x) − f(x₀)]/(x − x₀).
Ý nghĩa hình học: f'(x₀) là hệ số góc tiếp tuyến tại M(x₀; f(x₀)), tiếp tuyến có phương trình y = f'(x₀)(x − x₀) + f(x₀). Ý nghĩa vật lí: vận tốc tức thời v(t) = s'(t), gia tốc a(t) = v'(t) = s”(t).
Đạo hàm cơ bản: (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹; (√x)’ = 1/(2√x); (sin x)’ = cos x; (cos x)’ = −sin x; (tan x)’ = 1/cos²x; (cot x)’ = −1/sin²x; (e^x)’ = e^x; (a^x)’ = a^xln a; (ln x)’ = 1/x; (log_ax)’ = 1/(x ln a).
Quy tắc: (u ± v)’ = u’ ± v’; (uv)’ = u’v + uv’; (u/v)’ = (u’v − uv’)/v²; đạo hàm hàm hợp y’_x = y’_u·u’_x. Đạo hàm cấp hai f”(x) là đạo hàm của f'(x).

Ví dụ. Với y = x³ − 3x tại x₀ = 2: y(2) = 2, y’ = 3x² − 3 nên y'(2) = 9; tiếp tuyến là y = 9(x − 2) + 2 = 9x − 16.

Cách học lý thuyết Toán 11 hiệu quả

Học theo sơ đồ chương: sau mỗi chương, tự vẽ sơ đồ gồm định nghĩa – định lí – công thức – dạng bài. Việc tự viết lại giúp nhớ lâu hơn đọc nhiều lần.
Hiểu nguồn gốc công thức: công thức nhân đôi chỉ là công thức cộng với a = b; tổng cấp số nhân lùi vô hạn là giới hạn của S_n khi qⁿ → 0. Hiểu như vậy em không cần học thuộc máy móc.
Kiểm tra lại kết quả: thay nghiệm vào phương trình, đối chiếu điều kiện xác định (đặc biệt với lôgarit và tan, cot), dùng máy tính cầm tay để thử giá trị.
Hình học không gian: luôn vẽ hình biểu diễn đúng quy tắc (nét khuất vẽ đứt), đánh dấu giả thiết vuông góc, song song trước khi lập luận.
Xác suất: trước khi dùng công thức nhân, hỏi lại “hai biến cố có thật sự độc lập không?” – đây là lỗi sai thường gặp nhất.

Giải bài tập SGK Toán 11 Kết nối tri thức theo bài

Sau khi nắm lý thuyết, em luyện tập với lời giải SGK của từng bài:

Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2
Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Bài 2: Công thức lượng giác
Bài 3: Hàm số lượng giác
Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Bài 11: Hai đường thẳng song song
Bài 13: Hai mặt phẳng song song
Bài tập cuối chương IV
Bài 15: Giới hạn của dãy số
Bài tập cuối chương V
Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Bộ đề thi học kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án

Câu hỏi thường gặp

Toán 11 Kết nối tri thức có bao nhiêu chương?

Có 9 chương với 33 bài: chương I–V ở Tập 1 và chương VI–IX ở Tập 2.

Học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức học những gì?

Học kì 1 gồm hàm số và phương trình lượng giác, dãy số – cấp số cộng – cấp số nhân, số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm, quan hệ song song trong không gian, giới hạn và hàm số liên tục.

Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là gì?

Với công bội q ≠ 1, S_n = u_1(1 − q^n)/(1 − q); nếu q = 1 thì S_n = n·u_1.

Đạo hàm học ở chương nào trong Toán 11 Kết nối tri thức?

Đạo hàm là chương IX (Bài 31–33) ở cuối Tập 2, gồm định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm cấp hai.

Khi nào dùng được công thức P(AB) = P(A)·P(B)?

Chỉ khi A và B là hai biến cố độc lập; nếu không độc lập, em không được nhân trực tiếp hai xác suất.