Trả lời nhanh
Giải các hệ phương trình. Hệ gồm 4x − y = 2 và (4/3)x − (1/3)y = 1 vô nghiệm. Nhân hai vế phương trình thứ hai với 3 ta được 4x − y = 3, mâu thuẫn với 4x − y = 2 (cùng một biểu thức 4x − y không thể vừa bằng 2 vừa bằng 3). Về hình học, hai đường thẳng y = 4x − 2 và y = 4x − 3 có cùng hệ số góc nhưng khác tung độ gốc nên song song, không có điểm chung.
Đề bài
Giải hệ phương trình:
4x − y = 2 (1)
(4/3)x − (1/3)y = 1 (2)
Lưu ý: đường dẫn bài viết không giữ được dấu “−” và dấu phân số, nên cuối bài có bảng kết quả cho các trường hợp dấu khác. Em đối chiếu với đề trong sách của mình.
Nhận xét trước khi giải
Phương trình (2) có hệ số phân số với mẫu chung là 3. Bước đầu tiên nên làm là nhân cả hai vế với 3 để khử mẫu:
3 · (4/3)x − 3 · (1/3)y = 3 · 1, tức là 4x − y = 3. (2′)
So sánh (1) và (2′): vế trái giống hệt nhau (4x − y) nhưng vế phải khác nhau (2 và 3). Đây là dấu hiệu của hệ vô nghiệm. Dùng tiêu chí hệ số: với hệ a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2 (các hệ số khác 0), ta có
a1/a2 = 4 : (4/3) = 3; b1/b2 = (−1) : (−1/3) = 3; c1/c2 = 2 : 1 = 2.
Vì a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 nên hệ vô nghiệm. Dù vậy, khi trình bày bài giải em vẫn nên dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số như dưới đây.
Cách 1: Giải bằng phương pháp thế
- Từ (1), rút y theo x: y = 4x − 2. (3)
- Thế (3) vào (2): (4/3)x − (1/3)(4x − 2) = 1.
- Khai triển: (4/3)x − (4/3)x + 2/3 = 1, tức là 0x = 1 − 2/3 = 1/3.
- Phương trình 0x = 1/3 không có giá trị x nào thỏa mãn (vế trái luôn bằng 0).
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Cách 2: Giải bằng phương pháp cộng đại số
- Nhân hai vế của (2) với 3: 4x − y = 3. (2′)
- Trừ từng vế (1) cho (2′): (4x − y) − (4x − y) = 2 − 3, tức là 0x + 0y = −1.
- Không có cặp số (x; y) nào làm cho 0 = −1.
Kết luận giống cách 1: hệ vô nghiệm. Khi trình bày, em viết rõ phương trình “0x = …” với vế phải khác 0 rồi mới kết luận, đừng dừng ở bước nhân 3.
Minh họa hình học
Biến đổi (1) thành y = 4x − 2 (đường thẳng d1) và (2′) thành y = 4x − 3 (đường thẳng d2). Hai đường thẳng có cùng hệ số góc a = 4 nhưng cắt trục tung tại hai điểm khác nhau (−2 và −3), nên chúng song song. Không có điểm chung nghĩa là không có nghiệm chung.
Ba trường hợp số nghiệm của hệ bậc nhất hai ẩn
| Dấu hiệu | Vị trí hai đường thẳng | Số nghiệm | Ví dụ |
|---|---|---|---|
| a1/a2 ≠ b1/b2 | Cắt nhau | Một nghiệm duy nhất | 3x + 2y = 7; 5x − y = 3 có nghiệm (1; 2) |
| a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 | Song song | Vô nghiệm | Hệ trong bài này |
| a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 | Trùng nhau | Vô số nghiệm | 4x − y = 2; (4/3)x − (1/3)y = 2/3 |
Ở ví dụ cuối, nhân phương trình thứ hai với 3 được đúng 4x − y = 2, nên hai phương trình là một. Khi đó nghiệm tổng quát được viết là (x; 4x − 2) với x tùy ý.
Nếu đề của em có dấu khác
Các trường hợp dưới đây đã được giải và thử lại; cách làm giống hệt: nhân phương trình thứ hai với 3 rồi cộng hoặc trừ để khử ẩn.
| Hệ phương trình | Kết quả |
|---|---|
| 4x − y = 2 và (4/3)x − (1/3)y = 1 | Vô nghiệm |
| 4x − y = 2 và (4/3)x + (1/3)y = 1 | (x; y) = (5/8; 1/2) |
| 4x + y = 2 và (4/3)x − (1/3)y = 1 | (x; y) = (5/8; −1/2) |
| 4x + y = 2 và (4/3)x + (1/3)y = 1 | Vô nghiệm |
| 4x − y = 2 và −(4/3)x + (1/3)y = 1 | Vô nghiệm |
Ví dụ, với hệ thứ hai: nhân (2) với 3 được 4x + y = 3; cộng với 4x − y = 2 được 8x = 5, nên x = 5/8; thay vào 4x + y = 3 được y = 3 − 5/2 = 1/2. Thử lại: 4 · 5/8 − 1/2 = 5/2 − 1/2 = 2 và (4/3) · (5/8) + (1/3) · (1/2) = 5/6 + 1/6 = 1. Đúng.
Những lỗi thường gặp
- Nhân 3 nhưng quên vế phải: viết (2) thành 4x − y = 1 thay vì 4x − y = 3, rồi kết luận nhầm là hệ vô số nghiệm hoặc ra sai số.
- Kết luận “nghiệm x = 0”: từ 0x = 1/3, nhiều em chia hai vế cho 0 hoặc viết x = 0. Phép chia cho 0 không thực hiện được; phương trình 0x = 1/3 là vô nghiệm.
- Nhầm vô nghiệm với vô số nghiệm: 0x = 0 thì vô số nghiệm, còn 0x = số khác 0 thì vô nghiệm.
- Sai dấu khi khai triển: −(1/3)(4x − 2) = −(4/3)x + 2/3, dấu của số hạng thứ hai phải đổi thành cộng.
Bài tập tương tự (có đáp án)
- 2x − y = 3 và x + y = 6.
Đáp án: cộng vế được 3x = 9, x = 3, y = 3. Nghiệm (3; 3). - 6x − 3y = 9 và 2x − y = 3.
Đáp án: chia phương trình đầu cho 3 được 2x − y = 3, trùng phương trình thứ hai, hệ vô số nghiệm (x; 2x − 3). - (1/2)x + (1/4)y = 1 và 2x + y = 5.
Đáp án: nhân phương trình đầu với 4 được 2x + y = 4, mâu thuẫn với 2x + y = 5, hệ vô nghiệm. - x/2 − y/3 = 1 và 3x − 2y = 6.
Đáp án: nhân phương trình đầu với 6 được 3x − 2y = 6, trùng phương trình thứ hai, hệ vô số nghiệm.
Câu hỏi thường gặp
Hệ 4x − y = 2 và 4/3x − 1/3y = 1 có bao nhiêu nghiệm?
Hệ vô nghiệm, vì nhân phương trình thứ hai với 3 được 4x − y = 3, mâu thuẫn với 4x − y = 2.
Làm sao nhận biết nhanh hệ phương trình vô nghiệm?
Nếu a1/a2 = b1/b2 nhưng khác c1/c2 thì hệ vô nghiệm; khi giải bằng thế hoặc cộng sẽ xuất hiện phương trình dạng 0x = số khác 0.
Khi giải hệ ra 0x = 0 thì kết luận thế nào?
Phương trình 0x = 0 đúng với mọi x, nên hệ có vô số nghiệm; nghiệm tổng quát viết theo một ẩn tùy ý, ví dụ (x; 4x − 2).
Hai đường thẳng biểu diễn hệ vô nghiệm có vị trí như thế nào?
Hai đường thẳng song song với nhau: cùng hệ số góc nhưng khác tung độ gốc, nên không có điểm chung.