Trả lời nhanh
Với đề “phân tích sin⁸x + cos⁸x”, em đặt t = sin²x·cos²x = sin²2x/4 rồi dùng hằng đẳng thức bình phương. Kết quả: sin⁸x + cos⁸x = 1 − sin²2x + sin⁴2x/8 = (35 + 28cos4x + cos8x)/64. Từ đó suy ra biểu thức luôn nằm trong đoạn [1/8; 1]: lớn nhất bằng 1 tại x = 0, nhỏ nhất bằng 1/8 tại x = π/4.
Đọc đề: “sin8x cos8x” có thể hiểu theo mấy cách?
Trên mạng, nhiều đề viết gọn nên mất dấu mũ. Em đối chiếu với đề trong vở để chọn đúng hướng:
- sin⁸x + cos⁸x (luỹ thừa bậc 8): đây là dạng phổ biến nhất khi đề yêu cầu “phân tích”, “rút gọn” hay “hạ bậc”. Cách làm ở mục 2 và 3.
- sin⁸x − cos⁸x: phân tích thành nhân tử, xem mục 5.
- sin 8x + cos 8x (góc 8x): dùng công thức cộng, xem mục 6.
Cách 1: Đặt t = sin²x·cos²x để rút gọn
Ý tưởng là đưa luỹ thừa bậc 8 về bậc 4 rồi bậc 2 nhờ sin²x + cos²x = 1.
- Bậc 4: sin⁴x + cos⁴x = (sin²x + cos²x)² − 2sin²x·cos²x = 1 − 2t.
- Bậc 8: sin⁸x + cos⁸x = (sin⁴x + cos⁴x)² − 2sin⁴x·cos⁴x = (1 − 2t)² − 2t² = 1 − 4t + 2t².
- Thay t = sin²x·cos²x = (sin 2x)²/4 = sin²2x/4: 1 − 4t = 1 − sin²2x và 2t² = 2·sin⁴2x/16 = sin⁴2x/8.
Vậy sin⁸x + cos⁸x = 1 − sin²2x + sin⁴2x/8. Nếu muốn biểu diễn theo cos2x, em thay sin²2x = 1 − cos²2x và được (1 + 6cos²2x + cos⁴2x)/8.
Cách 2: Hạ bậc đến cos4x và cos8x
Khi bài yêu cầu viết biểu thức dưới dạng tổng các hàm cosin của góc bội (để tính tích phân hoặc nguyên hàm), em tiếp tục hạ bậc. Đặt c = cos4x, ta có sin²2x = (1 − c)/2.
- 1 − sin²2x = 1 − (1 − c)/2 = 1/2 + c/2.
- sin⁴2x/8 = (1 − c)²/32 = (1 − 2c + c²)/32.
- Dùng c² = cos²4x = (1 + cos8x)/2 nên c²/32 = 1/64 + cos8x/64.
Cộng lại: hệ số tự do là 1/2 + 1/32 + 1/64 = 35/64; hệ số của cos4x là 1/2 − 1/16 = 7/16 = 28/64; hệ số của cos8x là 1/64. Kết quả:
sin⁸x + cos⁸x = (35 + 28cos4x + cos8x)/64.
Kiểm tra nhanh bằng giá trị cụ thể: với x = π/6, sin²x = 1/4 và cos²x = 3/4 nên sin⁸x + cos⁸x = 1/256 + 81/256 = 41/128. Theo công thức đầu, sin²2x = sin²(π/3) = 3/4 và 1 − 3/4 + (9/16)/8 = 1/4 + 9/128 = 41/128. Hai kết quả khớp nhau.
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và đồ thị
Từ dạng 1 − s + s²/8 với s = sin²2x ∈ [0; 1], hàm số nghịch biến theo s (vì đạo hàm −1 + s/4 < 0 trên [0; 1]). Do đó:
- s = 0 (x = kπ/2) cho giá trị lớn nhất bằng 1.
- s = 1 (x = π/4 + kπ/2) cho giá trị nhỏ nhất bằng 1 − 1 + 1/8 = 1/8.
Đồ thị tuần hoàn với chu kì π/2 (do có cos4x và cos8x), dao động đều đặn giữa 1/8 và 1. Điều này giải thích vì sao sin⁸x + cos⁸x không bao giờ nhỏ hơn 1/8, một nhận xét quen thuộc trong các bài bất đẳng thức lượng giác.
Phân tích sin⁸x − cos⁸x thành nhân tử
Dạng hiệu thì làm gọn hơn nhiều vì dùng liên tiếp hằng đẳng thức a² − b²:
sin⁸x − cos⁸x = (sin⁴x − cos⁴x)(sin⁴x + cos⁴x) = (sin²x − cos²x)(sin²x + cos²x)(sin⁴x + cos⁴x) = −cos2x·(1 − sin²2x/2) = −cos2x·(1 + cos²2x)/2.
Mẹo nhớ: hiệu hai luỹ thừa bậc chẵn luôn tách được thừa số sin²x − cos²x = −cos2x.
Nếu đề là sin 8x + cos 8x
Khi 8x là góc của hàm số, em dùng công thức biến đổi tổng thành tích: sin8x + cos8x = √2·sin(8x + π/4). Còn nếu đề chỉ có sin 8x thì áp dụng công thức nhân đôi hai lần: sin8x = 2·sin4x·cos4x = 4·sin2x·cos2x·cos4x = 8·sinx·cosx·cos2x·cos4x.
Lỗi sai thường gặp
- Viết sin⁸x + cos⁸x = (sin²x + cos²x)⁴ = 1. Sai vì (a + b)⁴ không bằng a⁴ + b⁴; chỉ đúng khi bỏ các số hạng chéo, mà chúng không bằng 0.
- Quên hệ số 2 ở bước 2: (u + v)² = u² + v² + 2uv nên u² + v² = (u + v)² − 2uv, đừng viết −uv.
- Nhầm sin²2x với 2sin²x. Đúng ra sin2x = 2sinx·cosx, nên sin²2x = 4sin²x·cos²x.
Bài tập luyện tập
- Giải phương trình sin⁸x + cos⁸x = 17/32.
Gợi ý: đặt s = sin²2x, được s² − 8s + 15/4 = 0 nên s = 1/2 (loại s = 15/2 vì s ≤ 1). Suy ra cos4x = 0, tức x = π/8 + kπ/4 (k ∈ ℤ). - Tính sin⁸x + cos⁸x khi x = π/4.
Đáp án: sin²x = cos²x = 1/2 nên mỗi hạng tử bằng 1/16 và tổng bằng 1/8, đúng với giá trị nhỏ nhất ở trên. - Rút gọn sin⁸x − cos⁸x tại x = π/3.
Đáp án: cos(2π/3) = −1/2 nên −cos2x·(1 + cos²2x)/2 = (1/2)·(1 + 1/4)/2 = 5/16.
Câu hỏi thường gặp
Phân tích sin⁸x + cos⁸x ra kết quả gì?
sin⁸x + cos⁸x = 1 − sin²2x + sin⁴2x/8 = (35 + 28cos4x + cos8x)/64. Cách làm là đặt t = sin²x·cos²x rồi dùng hằng đẳng thức bình phương hai lần.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của sin⁸x + cos⁸x là bao nhiêu?
Giá trị lớn nhất bằng 1 khi sin2x = 0, giá trị nhỏ nhất bằng 1/8 khi sin²2x = 1, tức x = π/4 + kπ/2.
sin⁸x − cos⁸x phân tích thế nào?
Dùng hiệu hai bình phương liên tiếp: sin⁸x − cos⁸x = (sin²x − cos²x)(sin⁴x + cos⁴x) = −cos2x·(1 + cos²2x)/2.
Nếu đề là sin 8x + cos 8x thì làm sao?
Khi 8x là góc, em dùng công thức sin a + cos a = √2·sin(a + π/4), được sin8x + cos8x = √2·sin(8x + π/4).