log3(2x+1)-log3(x-1)=1: tập nghiệm S = {4}

Trả lời nhanh

Tập nghiệm của phương trình là S = {4}. Điều kiện xác định là x > 1. Dùng tính chất hiệu hai logarit cùng cơ số, phương trình trở thành log₃[(2x+1)/(x−1)] = 1, tức (2x+1)/(x−1) = 3. Giải ra x = 4, thoả điều kiện nên nhận.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức logarit chỉ có nghĩa khi biểu thức trong logarit dương. Ở đây cần đồng thời:

2x + 1 > 0 ⇒ x > −1/2;
x − 1 > 0 ⇒ x > 1.

Lấy giao hai điều kiện, ta được x > 1. Điều kiện nào “chặt” hơn thì ta giữ điều kiện đó.

Bước 2: Biến đổi và giải phương trình

Với x > 1, áp dụng log_aM − log_aN = log_a(M/N):

log₃(2x+1) − log₃(x−1) = 1 ⇔ log₃[(2x+1)/(x−1)] = 1.

Theo định nghĩa logarit, log₃A = 1 ⇔ A = 3¹ = 3. Vậy:

(2x+1)/(x−1) = 3;
2x + 1 = 3(x − 1) (nhân chéo, vì x − 1 ≠ 0);
2x + 1 = 3x − 3;
x = 4.

Ta có 4 > 1 nên x = 4 thoả điều kiện.

Bước 3: Thử lại nghiệm

Thay x = 4: log₃(2·4+1) − log₃(4−1) = log₃9 − log₃3 = 2 − 1 = 1. Đúng với vế phải.

Kết luận: S = {4}.

Cách giải khác: chuyển vế rồi so sánh

Ta có thể viết 1 = log₃3, nên phương trình tương đương log₃(2x+1) = log₃(x−1) + log₃3 = log₃[3(x−1)].

Hai logarit cùng cơ số bằng nhau thì biểu thức bên trong bằng nhau: 2x + 1 = 3(x − 1) ⇒ x = 4. Kết quả trùng với cách trên. Cách này tiện khi đề cho dạng “log = log” hoặc bài trắc nghiệm có nhiều đáp án gần giống nhau.

Lỗi sai thường gặp

Quên điều kiện: với phương trình này nghiệm tìm được vẫn đúng, nhưng ở nhiều bài khác điều kiện giúp loại nghiệm ngoại lai. Hãy tập thói quen viết điều kiện trước.
Nhầm công thức hiệu: log₃M − log₃N = log₃(M/N), không bằng log₃(M − N).
Chỉ xét 2x + 1 > 0: thiếu x − 1 > 0 sẽ khiến ta tưởng miền xác định là x > −1/2.
Quên 1 = log₃3 khi chuyển vế, dẫn tới viết sai thành log₃(2x+1) = log₃(x−1) + 1 rồi bỏ log.

Mẹo nhớ: “Trừ log thì chia, cộng log thì nhân; giải xong phải đối chiếu điều kiện”.

Bài luyện tập

Giải phương trình log₂(x+3) − log₂(x−1) = 2.
Đáp án: ĐK x > 1. (x+3)/(x−1) = 4 ⇒ x + 3 = 4x − 4 ⇒ x = 7/3 (thoả ĐK). S = {7/3}.
Giải phương trình log₃(x²−1) − log₃(x−1) = 1.
Đáp án: ĐK x > 1. Vì x² − 1 = (x−1)(x+1) nên (x+1) = 3 ⇒ x = 2 (thoả ĐK). S = {2}.
Giải phương trình log₂(x−3) + log₂(x−1) = 3.
Đáp án: ĐK x > 3. (x−3)(x−1) = 8 ⇒ x² − 4x − 5 = 0 ⇒ x = 5 hoặc x = −1. Loại x = −1 vì không thoả ĐK. S = {5}.

Bài 3 cho thấy vì sao không được bỏ qua bước đối chiếu điều kiện: phương trình bậc hai cho hai nghiệm nhưng chỉ một nghiệm hợp lệ.

Câu hỏi thường gặp

Tập nghiệm của phương trình log3(2x+1) − log3(x−1) = 1 là gì?

Tập nghiệm là S = {4}. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 4, thoả điều kiện x > 1.

Điều kiện xác định của phương trình log3(2x+1) − log3(x−1) = 1 là gì?

Cần 2x + 1 > 0 và x − 1 > 0, giao lại được x > 1.

Vì sao log3(2x+1) − log3(x−1) không bằng log3(x+2)?

Hiệu hai logarit cùng cơ số bằng logarit của thương, không phải logarit của hiệu: log3M − log3N = log3(M/N).

Có cần thử lại nghiệm không?

Nếu đã đặt điều kiện x > 1 và nghiệm x = 4 thoả điều kiện thì không bắt buộc, nhưng thử lại giúp kiểm tra phép tính: log3 9 − log3 3 = 2 − 1 = 1.