Trả lời nhanh
Đề bài thường yêu cầu chứng minh ABCD là hình chữ nhật. Vì AB // CD nên góc OAB = góc OCD (so le trong). Kết hợp giả thiết góc OAB = góc ODC suy ra góc OCD = góc ODC, nên tam giác OCD cân tại O, tức OC = OD. Do O là trung điểm của AC và BD nên AC = BD. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Đề bài và hình vẽ
Đề: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, thỏa mãn góc OAB = góc ODC. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Lưu ý: đề gốc bị cắt ở phần yêu cầu. Dạng này trong chương trình lớp 8 gần như luôn hỏi “chứng minh ABCD là hình chữ nhật”, nên bài viết giải theo hướng đó.
Phân tích: cần dùng kiến thức nào?
- Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: OA = OC, OB = OD.
- Hai cạnh đối song song: AB // CD, nên có các cặp góc so le trong bằng nhau.
- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
- Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
Giả thiết cho góc OAB và góc ODC, hai góc ở hai đỉnh khác nhau. Ta cần một góc “trung gian” để nối chúng lại. Góc đó là góc OCD, vì nó cùng nằm trong tam giác OCD với góc ODC, và lại bằng góc OAB nhờ AB // CD.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Hai đường thẳng song song bị cắt bởi đường thẳng AC, nên:
góc OAB = góc OCD (hai góc so le trong). (1)
Ở đây góc OAB chính là góc CAB, còn góc OCD chính là góc ACD, vì O nằm trên đoạn AC.
Bước 2. Theo giả thiết, góc OAB = góc ODC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc OCD = góc ODC.
Bước 3. Tam giác OCD có hai góc ở đáy C và D bằng nhau nên cân tại O. Do đó OC = OD. (3)
Bước 4. Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD:
AC = 2·OC và BD = 2·OD. (4)
Từ (3) và (4) suy ra AC = BD.
Bước 5. Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC = BD nên ABCD là hình chữ nhật. ∎
Vì sao dấu hiệu “hai đường chéo bằng nhau” đúng?
Nếu muốn chắc chắn hơn, bạn có thể tự kiểm tra: hình bình hành có AC = BD thì hai tam giác ABC và DCB bằng nhau (c.c.c, vì AB = DC, BC chung, AC = DB). Suy ra góc ABC = góc DCB. Mà hai góc này kề một cạnh bên, nên bù nhau (AB // CD). Mỗi góc bằng 90°, nên ABCD có một góc vuông, và là hình chữ nhật.
Cách giải khác (không cần tam giác cân)
Cũng từ góc OCD = góc ODC, ta có thể nói: tam giác OCD cân nên OC = OD. Sau đó OA = OC = OD = OB. Khi đó O cách đều bốn đỉnh, nên tam giác ABC có trung tuyến BO bằng nửa cạnh AC. Theo định lí đảo về trung tuyến ứng với cạnh huyền, tam giác ABC vuông tại B. Vậy góc ABC = 90°, và hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. Cách này thường dùng khi đề chưa học dấu hiệu về đường chéo.
Lỗi sai thường gặp
| Lỗi | Vì sao sai |
|---|---|
| Viết góc OAB = góc ODC là “so le trong” ngay | Hai góc này không nằm trên cùng một cát tuyến với hai đường song song. Phải chuyển sang góc OCD trước. |
| Kết luận OA = OD từ OC = OD mà không nói O là trung điểm | Cần nêu rõ OA = OC (tính chất hình bình hành) trước khi suy ra. |
| Kết luận thẳng “tam giác OCD cân nên là hình chữ nhật” | Tam giác cân chỉ cho OC = OD, còn phải suy ra AC = BD rồi mới dùng dấu hiệu nhận biết. |
| Nhầm với hình thoi | Hình thoi cần hai đường chéo vuông góc hoặc hai cạnh kề bằng nhau, không phải đường chéo bằng nhau. |
Mẹo nhớ
Gặp hình bình hành có đường chéo cắt nhau tại O và giả thiết về góc, hãy nghĩ đến các tam giác nhỏ như OAB, OCD. Nếu chứng minh được một tam giác cân có đỉnh O, ta có ngay hai đoạn OA, OB (hoặc OC, OD) bằng nhau, và từ đó hai đường chéo bằng nhau.
Bài luyện tập
Bài 1. Cho hình bình hành MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại I và góc IMN = góc IQP. Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.
Gợi ý và đáp án: MN // QP nên góc IMN = góc IPQ (so le trong). Kết hợp giả thiết có góc IPQ = góc IQP, nên IP = IQ. Suy ra MP = 2·IP = 2·IQ = NQ. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có OA = OB (O là giao điểm hai đường chéo). Hỏi ABCD là hình gì?
Đáp án: OA = OC, OB = OD nên OA = OB = OC = OD, suy ra AC = BD. Vậy ABCD là hình chữ nhật.
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có góc OAB = góc OBA. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Đáp án: Tam giác OAB có hai góc ở đáy bằng nhau nên OA = OB. Suy ra AC = 2·OA = 2·OB = BD, nên ABCD là hình chữ nhật.
Câu hỏi thường gặp
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình gì?
Là hình chữ nhật. Đây là một dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật trong chương trình Toán lớp 8.
Vì sao góc OAB bằng góc OCD?
Vì AB // CD (hai cạnh đối của hình bình hành) và AC là đường thẳng cắt chúng, nên hai góc OAB và OCD là cặp góc so le trong.
Trong hình bình hành, giao điểm O của hai đường chéo có tính chất gì?
O là trung điểm của cả hai đường chéo: OA = OC và OB = OD. Đây cũng là tâm đối xứng của hình bình hành.
Nếu thêm điều kiện để ABCD là hình vuông thì cần gì?
Ngoài là hình chữ nhật, cần thêm hai cạnh kề bằng nhau, hoặc hai đường chéo vuông góc với nhau.