Trả lời nhanh
Không, khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi chiều cao của bạn cao nhất hay bạn thấp nhất. Nó được tính bằng hiệu Q3 − Q1, tức chỉ xét nửa giữa của dãy số liệu. Bạn cao nhất cao thêm hay bạn thấp nhất thấp đi thì Q1, Q3 vẫn giữ nguyên, trong khi khoảng biến thiên thì thay đổi.
Khoảng tứ phân vị là gì?
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. Các tứ phân vị chia mẫu thành bốn phần có số phần tử gần bằng nhau: Q1 (tứ phân vị thứ nhất), Q2 (trung vị) và Q3 (tứ phân vị thứ ba).
Khoảng tứ phân vị kí hiệu ΔQ và bằng: ΔQ = Q3 − Q1. Số này cho biết độ dài của đoạn chứa khoảng 50% số liệu ở giữa. Giá trị càng lớn thì số liệu càng phân tán.
Cách tính từng bước
- Sắp xếp số liệu từ nhỏ đến lớn.
- Tìm trung vị Q2. Nếu n lẻ, Q2 là số ở chính giữa. Nếu n chẵn, Q2 là trung bình cộng hai số giữa.
- Q1 là trung vị của nửa dưới (các số nhỏ hơn Q2). Q3 là trung vị của nửa trên (các số lớn hơn Q2). Khi n lẻ, không đưa Q2 vào hai nửa.
- Tính ΔQ = Q3 − Q1.
Ví dụ: chiều cao của 8 bạn trong một tổ
Đây là số liệu tự đặt để minh hoạ (đơn vị cm): 150; 152; 155; 158; 160; 162; 165; 170.
- n = 8 nên Q2 = (158 + 160) : 2 = 159.
- Nửa dưới: 150; 152; 155; 158 nên Q1 = (152 + 155) : 2 = 153,5.
- Nửa trên: 160; 162; 165; 170 nên Q3 = (162 + 165) : 2 = 163,5.
- ΔQ = 163,5 − 153,5 = 10 (cm).
Khoảng biến thiên của mẫu này là R = 170 − 150 = 20 cm.
Vì sao không bị ảnh hưởng bởi bạn cao nhất, bạn thấp nhất?
Giả sử bạn cao nhất cao hơn nữa, từ 170 cm thành 185 cm. Thứ tự các số vẫn như cũ. Nửa trên là 160; 162; 165; 185 nên Q3 vẫn là (162 + 165) : 2 = 163,5. Q1 không đổi nên ΔQ vẫn bằng 10.
Tương tự, nếu bạn thấp nhất từ 150 cm xuống 140 cm thì Q1 = (152 + 155) : 2 vẫn là 153,5. Lý do là Q1, Q3 chỉ phụ thuộc vào các số nằm ở vị trí giữa mỗi nửa, còn giá trị hai đầu mút chỉ cần giữ vai trò nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
| Đại lượng | Ban đầu | Bạn cao nhất 170 → 185 |
|---|---|---|
| Khoảng biến thiên R | 20 | 35 |
| Khoảng tứ phân vị ΔQ | 10 | 10 |
Bảng cho thấy khoảng biến thiên bị “kéo” rất mạnh bởi một giá trị bất thường, còn khoảng tứ phân vị thì ổn định. Vì vậy ΔQ thích hợp khi mẫu có giá trị ngoại lệ (quá cao hoặc quá thấp so với phần còn lại).
Lưu ý: bỏ hẳn một bạn ra khỏi mẫu thì sao?
Câu trả lời “không ảnh hưởng” đúng khi ta thay đổi giá trị của bạn cao nhất hoặc thấp nhất. Nếu loại hẳn bạn đó khỏi mẫu thì cỡ mẫu n đổi, vị trí các tứ phân vị có thể dịch đi một chút.
Ở ví dụ trên, bỏ bạn 170 cm còn 7 số: 150; 152; 155; 158; 160; 162; 165. Khi đó Q2 = 158, Q1 = 152, Q3 = 162 và ΔQ = 10. Q1, Q3 có thay đổi nhẹ nhưng không “nhảy vọt” như khoảng biến thiên.
Lỗi sai thường gặp
- Quên sắp xếp số liệu trước khi tìm tứ phân vị.
- Khi n lẻ, vẫn đưa Q2 vào nửa dưới hoặc nửa trên.
- Nhầm khoảng tứ phân vị với khoảng biến thiên (R = max − min).
- Nghĩ rằng ΔQ hoàn toàn không đổi dù thêm hay bớt số liệu.
Mẹo nhớ: khoảng biến thiên nhìn “hai đầu”, khoảng tứ phân vị nhìn “nửa giữa”.
Bài luyện tập
Bài 1. Cho mẫu: 10; 12; 15; 18; 20; 22; 25; 60. Tính ΔQ. Nếu đổi số 60 thành 30 thì ΔQ có đổi không?
Đáp án: Q2 = (18 + 20) : 2 = 19; Q1 = (12 + 15) : 2 = 13,5; Q3 = (22 + 25) : 2 = 23,5. Vậy ΔQ = 10. Đổi 60 thành 30 thì Q3 không đổi nên ΔQ vẫn bằng 10, còn khoảng biến thiên giảm từ 50 xuống 20.
Bài 2. Cho mẫu: 5; 7; 8; 9; 11; 12; 30. Tính ΔQ, rồi tính lại sau khi loại giá trị 30.
Đáp án: Mẫu đầu có n = 7: Q2 = 9; Q1 = 7 (trung vị của 5; 7; 8); Q3 = 12 (trung vị của 11; 12; 30). ΔQ = 5. Sau khi loại 30, còn 5; 7; 8; 9; 11; 12: Q2 = 8,5; Q1 = 7; Q3 = 11 nên ΔQ = 4. Giá trị 30 rất lớn nhưng chỉ làm ΔQ thay đổi 1 đơn vị, vì nó chỉ làm cỡ mẫu và vị trí thay đổi chứ không kéo Q3 theo giá trị của nó.
Câu hỏi thường gặp
Khoảng tứ phân vị là gì?
Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất, Δ_Q = Q3 − Q1. Nó đo độ dài đoạn chứa khoảng 50% số liệu ở giữa mẫu.
Khoảng tứ phân vị có bị ảnh hưởng bởi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất không?
Không. Khi thay đổi giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà thứ tự các số khác không đổi thì Q1, Q3 và Δ_Q giữ nguyên, nên Δ_Q ít bị chi phối bởi giá trị ngoại lệ.
Khoảng tứ phân vị khác khoảng biến thiên ở điểm nào?
Khoảng biến thiên R bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất nên rất nhạy với giá trị bất thường. Khoảng tứ phân vị chỉ xét nửa giữa mẫu nên ổn định hơn.
Khi n lẻ, tính Q1 và Q3 thế nào?
Tìm trung vị Q2 là số ở giữa, rồi Q1 là trung vị của nửa dưới và Q3 là trung vị của nửa trên, không tính Q2 vào hai nửa này.